Wer kennt die Stammfunktion?

10/06/2015 - 18:59 von Volker Delf | Report spam
Hallo,

Wie lautet die Stammfunktion F(x) = Integral f(x) dx für

f(x) = 1 / ( Quadratwurzel ( x ) · Quadratwurzel ( a^3 + x^3 ) )

Meine alte Bronstein-Ausgabe liefert kein Ergebnis.

Dagegen wird eine Stammfunktion F(x) angegeben für

f(x) = Quadratwurzel ( x ) / Quadratwurzel ( a^3 + x^3 )

F(x) = (2/3) · Arsh ( Quadratwurzel ( ( x/a)^3 ) )

mfg Volker
 

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#1 Roland Franzius
10/06/2015 - 20:39 | Warnen spam
Am 10.06.2015 um 18:59 schrieb Volker Delf:
Hallo,

Wie lautet die Stammfunktion F(x) = Integral f(x) dx für

f(x) = 1 / ( Quadratwurzel ( x ) · Quadratwurzel ( a^3 + x^3 ) )

Meine alte Bronstein-Ausgabe liefert kein Ergebnis.

Dagegen wird eine Stammfunktion F(x) angegeben für

f(x) = Quadratwurzel ( x ) / Quadratwurzel ( a^3 + x^3 )

F(x) = (2/3) · Arsh ( Quadratwurzel ( ( x/a)^3 ) )



Die Integrale über inverse Quadratwurzeln aus Polynomen vierten Grades
heißen elliptische Integrale. Das obige heißt egibt eine Form des ersten
elliptischen Integrals F

Standadisiert haben sie die Form

F(x,k)=int dx/sqrt((1-x^2)(1- k x^2))

Allgemeiner kann man durch einfache lineare Transformationen jedes Integral

int dx/sqrt((x-a)(x-b)(x-c)(x-d))

auf das obige zurückführen.

Die algebraische Gestalt is je nach Lage der Nullstellen und des
Integrationsbereichs dazwischen extrem komplex. Dafür gibt es eine
eigene sehr umfangreiche Abteilung in Integraltafelwerken.


In diesem Fall liefert Mathematica

In: res = Integrate[(x (x^3 + a^3))^(-1/2), x]

Out: -((2*I*Sqrt[(-1)^(5/6)*(-1 + (-a^3)^(1/3)/x)]*
Sqrt[1 + (-a^3)^(2/3)/x^2 + (-a^3)^(1/3)/x]*x^2*
EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(-1)^(5/6) - (I*(-a^3)^(1/3))/x]/3^(1/4)],
(-1)^(1/3)])/
(3^(1/4)*(-a^3)^(1/3)*Sqrt[x*(a^3 + x^3)]))

Das Ergebnis kann nur mit Tricks verifiziert werden, wobei die benutzte
Zusammenfassung von komplexen Wurzeln und das Quadrieren potentiell
falsche Identitàten produzieren kann

In: FullSimplify[(D[res, x]^2 // FullSimplify) //.
{a_^c_ * b_^c_ :> (a b)^c}]


Out 1/(a^3 x + x^4)


Roland Franzius

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