Werden die Geistig Behinderten hier jemals Analysis 1 begreifen können ?

06/02/2013 - 18:13 von D Orbital | Report spam
Beispiel: Taylor–Entwicklung der Exponentialfunktion
Betrachte die Exponentialfunktion f(x) := exp(x). Zunachst ¨ gilt:
( exp(x))
0 = exp(x)
Daher gilt nach der Taylor–Entwicklung mit Entwicklungspunkt x0 = 0:
exp(x) = 1 + x +
x
2
2
+ : : : +
x
n
n!
+ Rn(x; 0)
Das Restglied lautet:
Rn(x; 0) exp()
(n + 1)!
x
n+1
;  = x; 0 <  < 1
Fehlerabschatzung ¨ fur¨ 0  x  1:
jRn(x; x0)j exp()
(n + 1)!
x
n+1

e
(n + 1)!
Zum Beispiel: jR10(x; x0)j  6:81  10
8
149
Beispiel: Taylor–Entwicklung der Sinusfunktion
Betrachte die Sinusfunktion f(x) := sin x. Zunachst ¨ gilt:
d
dx
sin x = cos x
d
dx
cos x = sin x
Daher gilt nach der Taylor–Entwicklung mit Entwicklungspunkt x0 = 0:
sin x = x
x
3
3!
+
x
5
5!
: : : + (1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+ R2n+2(x; 0)
Das Restglied lautet:
R2n+2(x; 0) = (1)
n+1
cos 
(2n + 3)!
x
2n+3
;  = x; 0 <  < 1
Fur¨ x 2 [=6; =6], x =6 0 und n = 3 ergibt sich folgende Abschatzung ¨
fur¨ den relativen Fehler:
R8(x; 0)
sin x
R8(x; 0)
R0(x; 0)
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#1 AGUIRRE
06/02/2013 - 18:37 | Warnen spam
On Wednesday, February 6, 2013 6:13:23 PM UTC+1, D Orbital wrote:
Der einzig geistig Behinderte bist du!

Beispiel: Taylor–Entwicklung der Exponentialfunktion

Betrachte die Exponentialfunktion f(x) := exp(x). Zunachst ¨ gilt:

( exp(x))

0 = exp(x)

Daher gilt nach der Taylor–Entwicklung mit Entwicklungspunkt x0 = 0:

exp(x) = 1 + x +

x

2

2

+ : : : +

x

n

n!

+ Rn(x; 0)

Das Restglied lautet:

Rn(x; 0) >
exp()

(n + 1)!

x

n+1

;  = x; 0 <  < 1

Fehlerabschatzung ¨ fur¨ 0  x  1:

jRn(x; x0)j >
exp()

(n + 1)!

x

n+1



e

(n + 1)!

Zum Beispiel: jR10(x; x0)j  6:81  10

8

149

Beispiel: Taylor–Entwicklung der Sinusfunktion

Betrachte die Sinusfunktion f(x) := sin x. Zunachst ¨ gilt:

d

dx

sin x = cos x

d

dx

cos x = sin x

Daher gilt nach der Taylor–Entwicklung mit Entwicklungspunkt x0 = 0:

sin x = x

x

3

3!

+

x

5

5!

: : : + (1)

n x

2n+1

(2n + 1)!

+ R2n+2(x; 0)

Das Restglied lautet:

R2n+2(x; 0) = (1)

n+1

cos 

(2n + 3)!

x

2n+3

;  = x; 0 <  < 1

Fur¨ x 2 [=6; =6], x =6 0 und n = 3 ergibt sich folgende Abschatzung ¨

fur¨ den relativen Fehler:

R8(x; 0)

sin x

>
R8(x; 0)

R0(x; 0)

 1:63  10

8

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