Widerspruch mal anders...

22/06/2016 - 18:58 von Andreas Leitgeb | Report spam
Angenommen, man hat eine Sprache, in der sich endliche Algorithmen
beschreiben lassen, die als Ergebnis jeweils eine reelle Zahl im
Intervall [0,1) liefern. Diese Sprache existiert in der Gesamtheit
aller endlichen Folgen von Zeichen (Texte) aus einem festgelegten
Alphabet (etwa Unicode), und enthàlt somit insgesamt nur abzàhlbar
unendlich viele Texte.

Texte die syntaktisch falsch oder semantisch unsinnig sind, oder
die keine reelle Zahl, oder eine Zahl ausserhalb des geforderten
Intervalls ergeben, bekommen 0 als "Ergebnis" zugewiesen.

Die im Text spezifizierten Algorithmen müssen nicht notwendiger-
weise praktisch ausrechenbar sein, aber sie müssen ein theoretisch
eindeutiges Ergebnis im geforderten Intervall liefern, sonst eben 0.
Es kann also z.B. auch: "der Kehrwert der Anzahl aller terminierenden
Turingmaschinen mit 1000 Zustànden" sein.

Nun ist klar, dass alle Zahlen, die in dieser Sprache als Ergebnis
eines Textes auftreten können, als Menge zusammengefasst nur eine
abzàhlbar unendliche Teilmenge von |R bilden.

Wenn man nun die natürliche Abzàhlung aller Texte über dem Alphabet
(Unicode) hernimmt, und in dieser Reihenfolge die jeweiligen Ergebnisse
aufschreibt (keine Injektivitàt gefordert), und nach dem Cantor'schen
Verfahren eine Diagonalzahl konstruiert, dann ist diese nicht in der
Liste, aber durch einen Text in dieser Sprache spezifizierbar, somit
also doch in der Liste.

Woran das nun theoretisch scheitert, würde mich schon interessieren...
 

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#1 Carlo XYZ
22/06/2016 - 20:34 | Warnen spam
Andreas Leitgeb wrote:

Woran das nun theoretisch scheitert, würde mich schon interessieren...



Anscheinend hast du Berry's Paradox abgewandelt wieder entdeckt:
Introduction in http://www.math.toronto.edu/weiss/Set_Theory.pdf

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