Wie allgemein gelten diese Aussagen zu ggT und relativ prim?

12/07/2016 - 00:02 von florian.ried | Report spam
Liebe (Mathe)freunde!

Ich bin neu hier und hoffe, dass ich mit dieser langen Frage nicht gleich ins Fettnàpfchen trete. Allerdings dient das allermeiste nur der Klàrung von (leider immer mehrdeutigen) Begriffen. Die eigentlichen Fragen habe ich mit GROßBUCHSTABEN hervorgehoben.
Mich beschàftigt eine Frage mit der ich nicht zu Rande komme. Eigentlich sind es drei, die allerdings zusammenhàngen weswegen ich sie nicht getrennt stellen wollte.
Es handelt sich um "elementare" Aussagen über ggT und relativ prim, von denen ich mich frage wie allgemein sie gelten. Zunàchst einige Definitionen (die sich ja leider immer in Nuancen unterscheiden), damit genau klar ist wovon ich rede:

Def 1: Ein Integritàtsbereich ist ein Ring, nicht der Nullring, der kommutativ und nullteilerfrei ist.
Achtung: Gemàß dieser Def. braucht ein Int.bereich kein Einselement zu besitzen!

Def 2: Zwei Elemente a,b eines kommutativen Rings R besitzen einen (oder mehrere!) größten gemeinsamen Teiler (ggT) g, wenn g∣a,b und falls t∣a,b, so t∣g.

Def 3: Zwei Elemente a,b eines kommutativen Rings R mit Einselement e heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn jeder gemeinsame Teiler eine Einheit ist.

Def 3ʹ: Zwei Elemente a,b eines kommutativen Rings R mit Einselement e heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn jeder ggT eine Einheit ist.

Falls die Elemente a,b eines kommutativen Rings R mit Einselement e einen ggT besitzen sind die Definitionen 3 und 3' klarerweise àquivalent.

FRAGE 1: Wie wird relativ prim definiert wenn nicht gewàhrleistet ist, dass je zwei Elemente einen ggT haben? Ich vermute mal man nimmt dann Def. 3 (und nicht Def. 3') oder?

Def 4: Ein Integritàtsring mit Einselement heißt ggT-Ring, wenn zu je zwei Elemente ein ggT existiert.

Def 5: Ein Integritàtsring mit Einselement heißt ZPE-Ring (oder Ring mit eindeutiger Primfaktorzerlegung), wenn jedes Element ungleich 0, keine Einheit, als Produkt von irreduziblen Elementen darstellbar ist und diese Darstellung bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten eindeutig ist.

Def 6: Ein Integritàtsring R mit Einselement heißt Bezout-Ring, wenn das Lemma von Bezout gilt, d.h. wenn jeder ggT(a,b) als Linearkombination r⋅a+s⋅b für gewisse r,s∈R darstellbar ist.

FRAGE 2: In meinem Algebrabuch (Kowol Mitsch Algebra 1, S.106) stehen die beiden (Standard-)Behauptungen:
1) Sind a,b relativ prim und ist a∣bc dann gilt a∣c
und
2) Sind a,b relativ prim, dann ist das von {a,b} erzeugte Ideal der ganze Ring R.
Und zwar steht im Buch das gelte für allgemeine Integritàtsringe mit Einselement e.
Ich schaffe beim besten Willen nicht diese Aussagen zu beweisen und vermute einen Fehler im Buch. Für Hauptidealringe ist die Sache klar. In ZPE-Ringen gilt es denk ich auch, aber da müsste ich noch drüber nachdenken. Auch in Bezout-Ringen (siehe Def. 6) ist die Sache für mich klar.
Klar ist ebenfalls, dass 1) aus 2) folgt. Aber in allgeinen Integritàtsringen komme ich nicht weiter. Im Buch steht bloß, dass das eine Folgerung aus einem Korollar wàre. Im Korollar wird aber ein Hauptidealring verwendet und da hat man freilich ganz andere Möglichkeiten.
Speziell wichtig für mich ist ob 1) in ggT-Ringen gilt (siehe Def. 4) gilt, denn dort möchte ich die Aussage verwenden.

FRAGE 3: Ich frage mich auch wie allgemein folgende (Standard-)Aussage gilt, d.h. was man außerdem noch vom Ring fordern muss:
Seien a,b zwei Elemente (nicht beide 0) eines Integritàsbereiches R mit Einselmement e und g ein ggT von a und b. Dann sind ag und bg relativ prim.
Bemerkung: In Integritàtsringen kann man ja Brüche verwenden (d.h. sie liefern ein eindeutiges Ergebnis), sofern der "Nenner" den "Zàhler" teilt (und nicht beides 0 ist).
Auch diese Aussage möchte ich in einem ggT-Ring verwenden und frage mich insbesondere ob sie dort gilt.

Puh, das ist lang geworden. Dafür steht aber alles hoffentlich eindeutig und vollstàndig da - getreu dem Motto: "Mehr ist weniger".

Ich wàre total dankbar für jede Hilfe. Auch natürlich von einzelnen Fragen.

Liebe Grüße, Florian
 

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#1 Detlef Müller
12/07/2016 - 12:05 | Warnen spam
Hallo, Florian,

Ich picke mir mal eine Frage heraus.

Am 12.07.2016 um 00:02 schrieb :
[...]
Def 1: Ein Integritàtsbereich ist ein Ring, nicht der Nullring, der
kommutativ und nullteilerfrei ist. Achtung: Gemàß dieser Def. braucht
ein Int.bereich kein Einselement zu besitzen!

Def 2: Zwei Elemente a,b eines kommutativen Rings R besitzen einen
(oder mehrere!) größten gemeinsamen Teiler (ggT) g, wenn g∣a,b und
falls t∣a,b, so t∣g.

Def 3: Zwei Elemente a,b eines kommutativen Rings R mit Einselement e
heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn jeder gemeinsame Teiler
eine Einheit ist.

Def 3ʹ: Zwei Elemente a,b eines kommutativen Rings R mit Einselement
e heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn jeder ggT eine Einheit
ist..

Falls die Elemente a,b eines kommutativen Rings R mit Einselement e
einen ggT besitzen sind die Definitionen 3 und 3' klarerweise
àquivalent.

FRAGE 1: Wie wird relativ prim definiert wenn nicht gewàhrleistet
ist, dass je zwei Elemente einen ggT haben? Ich vermute mal man nimmt
dann Def. 3 (und nicht Def. 3') oder?



Bleibt ja nichts anderes übrig.

Def 4: Ein Integritàtsring mit Einselement heißt ggT-Ring, wenn zu je
zwei Elemente ein ggT existiert.

Def 5: Ein Integritàtsring mit Einselement heißt ZPE-Ring [...]

Def 6: Ein Integritàtsring R mit Einselement heißt Bezout-Ring,[...]

FRAGE 2: In meinem Algebrabuch (Kowol Mitsch Algebra 1, S.106) stehen
die beiden (Standard-)Behauptungen: 1) Sind a,b relativ prim und ist
a∣bc dann gilt a∣c [...]

Ich schaffe
beim besten Willen nicht diese Aussagen zu beweisen und vermute einen
Fehler im Buch. Für Hauptidealringe ist die Sache klar.



Natürlich ist es immer so eine Sache, wenn man einen Fehler in
einem Buch vermutet - aber dann kann man ja versuchen, ein konkretes
Gegenbeispiel anzugeben ... übrigens ist das oft hilfreich, wenn einem
der Beweis für eine Aussage einfach nicht gelingen will. Entweder findet
man ein Gegenbeispiel, oder bei der Suche danach gewinnt man
Erkenntnisse, die einen einem Beweis nàher bringen.

Zur Aussage aus dem Buch:
Da es für HI-Ringe garantiert geht, muss das Gegenbeispiel in einem
nicht-HI-Ring "leben".
Der Klassische Ring ohne eindeutige Zerlegung in primitive Elemente
ist R= Z[i sqrt 5], also die Zahlen der Gestalt

x = a + b*w mit a, b ganze Zahlen und w^2 = -5

im Folgenden seinen a,b stets ganze Zahlen.

Zur Untersuchung der Teilbarkeit in diesem Ring ist die Abbildung

N(a + b*w) := a^2 + 5 b^2 von R in die Natürlichen Zahlen

hilfreich, die multiplikativ ist N(x*y)=N(x)*N(y) und daher impliziert:
x,y aus R mit x|y => N(x)|N(y).
Weil man in den Natürlichen Zahlen viel über Teilbarkeit weiss, ist
diese Abbildung so nützlich.

Man kann sich (leicht) überlegen, dass a^2 + 5 b^2 niemals den Wert 3
annehmen kann: Sobald der w-Part b nicht 0 ist, ist es schon zu groß,
aber 3 ist auch keine Quadratzahl.
Weiter ist für Einheiten e aus R stets N(e)=1, was hier nur auf
1 und -1 aus R zutrifft.

Nun zur Mehrdeutigkeit: In diesem Ring hat man (nachrechnen)

3*(1+w) = (1-w) * (-2 + w) (*)

Wir wàhlen nun A = 3, B = 1-w und C = -2 + w.

Wegen N(A)=9, N(B)=6 und N(C)=9 sind dies keine Einheiten.

Wir testen die Definition 3:
gelte x| A und x|B, dann folgt N(x)|9 und N(x)|6, da N(x)
eine natürliche Zahl ist, folgt damit N(x)|3, weil N(x)=3 für
kein x aus R gilt, bleibt nur N(x)=1 also ist x eine Einheit.

Somit sind A und B relativ prim.
Würde die Behauptung aus dem Buch stimmen, hàtten wir wegen

A|B*C => A|C, d.h. 3|(-2+w) bzw. 3 = (-2+w)*x für ein x aus R.

Dann gilt: 9=N(3)=N(-2+w)*N(x)=9*N(x), also ist N(x)=1.
Das bedeutet x=1 oder x=-1, aber offensichtlich ist
3 <> (-2+w) und auch 3 <> -(-2+w): Widerspruch.

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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