Wie viel Luft durchdringt das Sonnenlicht?

23/05/2015 - 21:29 von Detlef Müller | Report spam
Hallo, allerseits.

Vor einiger Zeit suchte ich nach Anschaulichen Beispielen für
trigonometrische Funktionen.

Im Urlaub am Strand kam der Spruch "Stell dich nicht so an,
so spàt am Abend brennt die Sonne nicht mehr, weil das Licht
viel mehr Luft durchdringt, bis es ankommt."

Daraus wird doch eine schöne Aufgabe, dachte ich mir:

Angenommen der Atmosphàre sei eine Dicke D zugeordnet (das
ist in Wirklichkeit nicht so einfach). Dann kommen wir zu
folgender Problemstellung:

Einem Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius R (z.B. 6371 km)
sei ein Weiterer Kreis K mit Radius R + D umschrieben, D>0.

Gegeben sein ein Punkt P auf k.

Die Halbgerade auf der Geraden MP, die von P ausgeht und
M nicht enthàlt, schneidet dann K in der Entfernung D
von P (sprich: Wenn die Sonne für P im Zenit steht, durchdringt
das Licht nur die Dicke der Atmosphàre).

Eine Halbgerade, die in P startet und Tangential zu k verlàuft
schneidet K in einem Punkt T, der mit M und P ein rechtwinkliges
Dreieck bildet. Eine Kathete hat die Lànge R, die Hypotenuse
die Lànge R+D.
Die Strecke PT hat nach Pythagoras dann die Lànge
sqrt((R+D)^2-R^2).
Bei Sonnenunter- bzw. Sonnenaufgang wird also so viel Luft
durchdrungen - setzt man 63.71 km für D ein, ergibt sich
dann ein Wert von 903.24... km also wirklich viel mehr als D.

Die Frage nun: Was spielt sich dazwischen ab?

Betrachten wir nun einen Strahl von P aus, der sich um einen
Winkel alpha von der Horizontlinie (Tangente) erhebt, wie
kommt man dann auf elegante Weise auf die Lànge der in der
Luftschicht durchlaufenen Strecke s(alpha, R, D)?

Meine Methode ist eher "Brechstange" und führt zu einem
gelinde gesagt nicht wirklich schönen Ausdruck.

Gruß,
Detlef


Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
 

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#1 Rainer Rosenthal
24/05/2015 - 12:19 | Warnen spam
Am 23.05.2015 um 21:29 schrieb Detlef Müller:

Einem Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius R (z.B. 6371 km)
sei ein Weiterer Kreis K mit Radius R + D umschrieben, D>0.
Gegeben sein ein Punkt P auf k.

Die Halbgerade auf der Geraden MP, die von P ausgeht und
M nicht enthàlt, schneidet dann K in der Entfernung D
von P (sprich: Wenn die Sonne für P im Zenit steht, durchdringt
das Licht nur die Dicke der Atmosphàre).
...
Betrachten wir nun einen Strahl von P aus, der sich um einen
Winkel alpha von der Horizontlinie (Tangente) erhebt, wie
kommt man dann auf elegante Weise auf die Lànge der in der
Luftschicht durchlaufenen Strecke s(alpha, R, D)?



Die gesuchte Lànge s ist die Entfernung zwischen P und dem Punkt E,
an dem der Strahl den Kreis K trifft.
Ich betrachte das Dreieck MEP und wende den Kosinussatz an.
Die Seiten s = PE und R = PM schließen den Winkel <)MPE = alpha+90° ein.
Die dem Winkel gegenüberliegende Seite ME hat die Lànge R+D, denn das
ist der Radius des Kreises K.

Der Kosinussatz sagt nun:

R^2 + s^2 - 2*R*s*c = (R+D)^2, wobei c = cos(alpha+90°)

Das ist eine quadratische Gleichung für s mit der Lösung

s = R*c + sqrt((R+D)^2 - R^2*(1-c^2))

Probe für alpha = 90°: c = cos(alpha+90°) = cos(180°) = -1
ergibt s = -R + sqrt((R+D)^2-R^2*0) = -R + R+D = D. Passt.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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