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27/02/2015 - 22:04 von Armin Mittelfeld | Report spam
Mit dem Begriff Wavelet werden die einer kontinuierlichen oder diskreten Wavelet-Transformation zugrundeliegenden Funktionen bezeichnet. Das Wort ist eine Neuschöpfung aus dem französischen „ondelette“, das „kleine Welle“ bedeutet und teils wörtlich („onde“→„wave“), teils phonetisch („-lette“→„-let“) ins Englische übertragen wurde. Der Ausdruck Wavelet wurde in den 1980er Jahren in der Geophysik (Jean Morlet, Alex Grossmann) für Funktionen gepràgt, welche die Short-Time-Fourier-Transformation verallgemeinern, wird jedoch seit Ende der 1980er ausschließlich in der heute üblichen Bedeutung verwendet. In den 1990er Jahren entstand ein regelrechter Wavelet-Boom, ausgelöst durch die Entdeckung von kompakten, stetigen (bis hin zu beliebiger Ordnung der Differenzierbarkeit) und orthogonalen Wavelets durch Ingrid Daubechies (1988) und die Entwicklung des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation (FWT) mit Hilfe der Multiskalenanalyse (MultiResolution Analysis – MRA) durch Stéphane Mallat und Yves Meyer (1989).

Im Gegensatz zu den Sinus- und Kosinus-Funktionen der Fourier-Transformation besitzen die meistverwendeten Wavelets nicht nur Lokalitàt im Frequenzspektrum, sondern auch im Zeitbereich. Dabei ist „Lokalitàt“ im Sinne kleiner Streuung zu verstehen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das normierte Betragsquadrat der betrachteten Funktion bzw. von deren Fourier-Transformierten. Dabei ist das Produkt beider Varianzen immer größer als eine Konstante, analog zur Heisenbergschen Unschàrferelation, siehe auch das WKS-Abtasttheorem. Aus dieser Einschrànkung heraus entstanden in der Funktionalanalysis die Paley-Wiener-Theorie (Raymond Paley, Norbert Wiener), ein Vorlàufer der diskreten Wavelet-Transformation, und die Calderón-Zygmund-Theorie (Alberto Calderón, Antoni Zygmund), die der kontinuierlichen Wavelet-Transformation entspricht.

Das Integral einer Wavelet-Funktion ist immer 0, daher nimmt in der Regel die Waveletfunktion die Form von nach außen hin auslaufenden (kleiner werdenden) Wellen (also „Wellchen“ = Ondelettes = Wavelets) an.
 

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#1 Ernst Sauer
28/02/2015 - 13:52 | Warnen spam
Am 27.02.2015 um 22:04 schrieb Armin Mittelfeld:
Mit dem Begriff Wavelet werden die einer kontinuierlichen oder diskreten Wavelet-Transformation zugrundeliegenden Funktionen bezeichnet. Das Wort ist eine Neuschöpfung aus dem französischen „ondelette“, das „kleine Welle“ bedeutet und teils wörtlich („onde“→„wave“), teils phonetisch („-lette“→„-let“) ins Englische übertragen wurde. Der Ausdruck Wavelet wurde in den 1980er Jahren in der Geophysik (Jean Morlet, Alex Grossmann) für Funktionen gepràgt, welche die Short-Time-Fourier-Transformation verallgemeinern, wird jedoch seit Ende der 1980er ausschließlich in der heute üblichen Bedeutung verwendet. In den 1990er Jahren entstand ein regelrechter Wavelet-Boom, ausgelöst durch die Entdeckung von kompakten, stetigen (bis hin zu beliebiger Ordnung der Differenzierbarkeit) und orthogonalen Wavelets durch Ingrid Daubechies (1988) und die Entwicklung des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation (FWT) mit Hilfe der Multiskalenanalyse (MultiResol


ution Analysis – MRA) durch Stéphane Mallat und Yves Meyer (1989).

Im Gegensatz zu den Sinus- und Kosinus-Funktionen der Fourier-Transformation besitzen die meistverwendeten Wavelets nicht nur Lokalitàt im Frequenzspektrum, sondern auch im Zeitbereich. Dabei ist „Lokalitàt“ im Sinne kleiner Streuung zu verstehen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das normierte Betragsquadrat der betrachteten Funktion bzw. von deren Fourier-Transformierten. Dabei ist das Produkt beider Varianzen immer größer als eine Konstante, analog zur Heisenbergschen Unschàrferelation, siehe auch das WKS-Abtasttheorem. Aus dieser Einschrànkung heraus entstanden in der Funktionalanalysis die Paley-Wiener-Theorie (Raymond Paley, Norbert Wiener), ein Vorlàufer der diskreten Wavelet-Transformation, und die Calderón-Zygmund-Theorie (Alberto Calderón, Antoni Zygmund), die der kontinuierlichen Wavelet-Transformation entspricht.

Das Integral einer Wavelet-Funktion ist immer 0, daher nimmt in der Regel die Waveletfunktion die Form von nach außen hin auslaufenden (kleiner werdenden) Wellen (also „Wellchen“ = Ondelettes = Wavelets) an.




Klingt für mich zwar unverstàndlich aber interessant.
Dann zeig doch mal, wie man damit die Bewegungsgleichung
für ein Schwingungsproblem (eine Glockenschwingung) lösen kann.

Ein kleines Progràmmchen dazu wàre auch nicht schlecht.


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