Wo habe ich das Brett vor'm Kopf?

21/02/2008 - 00:23 von Siegfried Neubert | Report spam
Hallo Ihr,

ich bin aml wieder da und
habe eine Frage, begründet in einer Ràtselaufgabe
von Winfried Beyer, er schrieb:


Die bei meinen Ràtseln verwendeten Spaghettis sind perfekt gerade und
unendlich dünn. Sie sind genau eine Einheit lang.

Zum eigentlichen Ràtsel:
Eine Spaghetti wird in einem sehr viel größeren Eisblock eingefroren.
Der Block wird dann, ohne auf die Spaghetti zu achten, durch ein
unendlich
dünnes Sàgeblatt in Würfel der Kantenlànge eins zerlegt.
(Also Würfel an Würfel, Schnitte im Abstand 1).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Spaghetti nicht
durchgeschnitten wird?
Eine "glaubhafte" Lösung hat mindestens 6 richtige Dezimalstellen.

Welche Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass keine Fuge
berührt
wird?



Er gibt dann (in einer nicht öffentlichen Newsgroup)
auch eine Lösung an und scheibt dazu:


Unter der Annahme dass meine Simulation doch richtig ist, bin ich das
gleiche Konzept noch einmal analytisch angegangen und habe eine
Doppelintegral über z (von 0 bis 1) und alfa (von 0 bis pi/2)
aufgestellt. Das Integral làsst sich sogar lösen: w = 7/(4*pi) - 1/2
> 0,057042...



Er "mittelt" dabei über die Intervalle z (von 0 bis 1) und alfa (von 0
bis pi/2), daher der Faktor 2/Pi vorweg.

Ich schreibe (auch hier) sein Integral aus der boggs in "meiner"
Nomenklatur:

2/Pi*Int(0,Pi/2)Int(0,1){(1-h)(1-sqrt(1-h^2))cosP)(1-sqrt(1-h^2))sinP)}dhdT

Stellt man sich ein 3D-Koordinatenkreuz vor
und darin einen Einheitsvektor in bel. Richtung im "1." Quadranten,
dann gilt (mit P,T stehen (wieder) für die Winkel Phi und Theta und
r=1):

h= cosT mit dh= -sinT dT und 1-sqrt(1-h^2)= ...= sinT
und damit nach oben

2/Pi*Int(0,Pi/2)Int(...){(1-cosT)(1-sinTcosP)(1-sinTsinP)}*-sinT dTdP
oder
2/Pi*...
Int(0,Pi/2)Int(0,Pi/2){[(1-cosT)(1-sinTcosP)(1-sinTsinP)]sinT} dTdP
oder abgekürzt geschrieben
2/Pi* ... { sT -sPs^2T -cPs^2T +sPcPs^3T -cTsT +sPcTs^2T
+cPcTs^2T -sPcPcTs^3T} ...
2/Pi*{ 1*Pi/2 -1*Pi/4 -1*Pi/4 +1/2*(1-1/3) -Pi/2*1/2 +1*1/3
+1*1/3 -1/2*1/4 }
2/Pi*{ 7/8 -Pi/4 }= ... = 0,057042

Klar, überrascht wohl auch nicht.

Ich hatte (nach ein paar Anlàufen) zur Lösung folgenden Ansatz:

(2/Pi)^2*Int(0,Pi/2)Int(0,Pi/2){(1-cosT)(1-sinTcosP)(1-sinTsinP)} dTdP

Und "mittele" dabei über die Intervalle Phi (von 0 bis pi/2) und Theta
(von 0 bis pi/2), daher der Faktor (2/Pi)^2 vorweg (wieder
"abgekürzt"):

(2/Pi)^2* ... {1 -sPsT -cPsT +sPcPs^2T -cT +sPcTsT +cPcTsT -sPcPcTs^2T}
...
(2/Pi)^2* ... {(2/Pi)^2* -1 -1 +1/2*Pi/4 -pi/2 +1*1/2 +1*1/2 -1/2*1/3}
(2/Pi)^2*{ (2/Pi)^2* -7/6 -3Pi/8 }= (1 -(28+9Pi)/(6Pi^2))0,04970298...

Eben oh, oh, oh ! Und nu'? Und das ist dann meine Frage:

Wieso diese unterschiedliche Normierung je nach Ansatz?
Die Mittelwertbildung legt das aber so nahe!?
(Irgendwie geht mir die Funktionaldeterminante,
r^2*sinT drdPdT =~ dxdydz
nicht aus dem Kopf, aber warum und wie genau?) Mit r=1 konstant:

(2/Pi)^2*Int(0,Pi/2)Int(0,Pi/2){(1-cosT)(1-sinTcosP)(1-sinTsinP)}
sinT*dTdP oder
(2/Pi)^2* ...
{sT-sPs^2T-cPs^2T+sPcPs^3T-cTsT+sPcTs^2T+cPcTs^2T-sPcPcTs^3T} ...
(2/Pi)^2* ... {Pi/2*1 -1*Pi/4 -1*Pi/4 +1/2*(1-1/3) -Pi/2*1/2 +1*1/3
+1*1/3 -1/2*1/4}
(2/Pi)^2*{ -Pi/4 +7/8 }= 2/Pi*2/Pi*{ 7/8 -Pi/4 }= ...

... = 2/Pi * 0,057042

Hi, Hi, Hilfe ... ,wo habe ich (ggf.) das Brett vor dem Kopf!?

Tschüß

und natürlich auch mit vielen Grüßen

Siggi Neubert - Hamburg
 

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#1 Jan Fricke
21/02/2008 - 08:21 | Warnen spam
Siegfried Neubert wrote:
Hallo Ihr,

ich bin aml wieder da und
habe eine Frage, begründet in einer Ràtselaufgabe
von Winfried Beyer, er schrieb:

Die bei meinen Ràtseln verwendeten Spaghettis sind perfekt gerade und
unendlich dünn. Sie sind genau eine Einheit lang.

Zum eigentlichen Ràtsel:
Eine Spaghetti wird in einem sehr viel größeren Eisblock eingefroren.
Der Block wird dann, ohne auf die Spaghetti zu achten, durch ein
unendlich
dünnes Sàgeblatt in Würfel der Kantenlànge eins zerlegt.
(Also Würfel an Würfel, Schnitte im Abstand 1).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Spaghetti nicht
durchgeschnitten wird?
Eine "glaubhafte" Lösung hat mindestens 6 richtige Dezimalstellen.

Welche Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass keine Fuge
berührt
wird?





Wir hatten hier vor einiger Zeit die ebene Version davon ("Verteilung
von Làngen in einem Quadrat", November 2007).

Man kann das Problem so lösen: Man gibt eine Richtung des Spaghetto vor.
Wo muss dann der Endpunkt davon liegen, damit es ganz im konvexen Körper
K liegt? Dazu verschieben wir K (hier der Einheitswürfel) um den Vektor
x mit der gewünschten Richtung und der gesuchten Lànge (hier: 1). Dann
muss der Endpunkt in K und (K+x) liegen. Die Wahrscheinlichkeit ist also
vol(K /\ (K+x)) / vol(K).
Jetzt müssen noch alle Spaghetto-Richtungen betrachtet werden - dazu
wird obiger Ausdruck über alle Richtungen gemittelt:

p = Int_(x in S²) vol(K /\ (K+x)) d²x / (vol(K) * vol(S²)).

Wenn ich nachher Zeit habe, werde ich das mal für dieses konkrete
Beispiel durchrechnen.


Viele Grüße Jan

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