Wohlordnung Ein Beweisversuch

21/12/2009 - 12:28 von Peter Niessen | Report spam
Hallo
Ich möchte mal (ganz im Gegensatz zu Albrecht und Co.) wissen ob meine
Beweisidee tragfàhig ist:
Satz:
Jede Menge làsst sich wohlordnen.
Idee (als hoffentlich verstàndliche Skizze):
Sei m eine nichtleere Menge und P(m) deren Potenzmenge.
Es liegt auf der Hand das P(m) durch die Teilmengenrelation partiell
geordnet werden kann und diese partiell geordneten Teilmengen sind
wohlgeordnet. Unter diesen Wohlordnungen muss es maximale Wohlordnungen
geben. Damit sollte es auch mindestens eine injektive Abbildung
f:m -> P(m) geben so dass m durch die Bildmenge wohlgeordnet ist.

Ist das Murx oder ausbaubaufàhig?
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen
 

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#1 Ralf Bader
21/12/2009 - 18:04 | Warnen spam
Peter Niessen wrote:

Hallo
Ich möchte mal (ganz im Gegensatz zu Albrecht und Co.) wissen ob meine
Beweisidee tragfàhig ist:
Satz:
Jede Menge làsst sich wohlordnen.
Idee (als hoffentlich verstàndliche Skizze):
Sei m eine nichtleere Menge und P(m) deren Potenzmenge.
Es liegt auf der Hand das P(m) durch die Teilmengenrelation partiell
geordnet werden kann und diese partiell geordneten Teilmengen sind
wohlgeordnet.



Was soll das heißen? Eine Möglichkeit: Ist T c P(m) eine Teilmenge der
Potenzmenge, die durch die Teilmengenrelation sogar vollstàndig geordnet
ist, dann ist diese vollstàndige Ordnung eine Wohlordnung. Das ist
allerdings falsch: Sei m = Menge der natürlichen Zahlen, N_k = Menge der
ungeraden Zahlen vereinigt mit der Menge der geraden Zahlen <=2k. Diese
Mengen N_k (k e N) bilden eine durch die Teilmengenrelation vollstàndig
geordnete Teilmenge Q von P(N), die aber kein minimales Element enthàlt;
jedes Element von Q enthàlt gerade Zahlen, und zu jeder geraden Zahl g gibt
es Mengen N_k, die g nicht enthalten. Also keine Wohlordnung.

Unter diesen Wohlordnungen muss es maximale Wohlordnungen
geben.



Daß es irgendwas Maximales gibt, muß bewiesen werden. Mit einem deklarativen
muß ist das nicht getan.

Damit sollte es auch mindestens eine injektive Abbildung
f:m -> P(m) geben so dass m durch die Bildmenge wohlgeordnet ist.

Ist das Murx oder ausbaubaufàhig?



In Anwesenheit der restlichen Axiome von ZFC ist der Wohlordnungssatz
àquivalent zum Auswahlaxiom. Wenn man also den Wohlordnungssatz beweisen
will, dann muß da irgendwo das Auswahlaxiom (oder ein Äquivalent des
Auswahlaxioms) im Beweis erscheinen. Wenn das nicht der Fall ist, dann
fehlt dem Beweis(versuch) Entscheidendes.


Ralf

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