WT: verallgemeinerte Inverse: Infimum und Definitionsbereich

28/04/2012 - 16:15 von Paul Menzel | Report spam
Liebe Leute,


zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
Inverse eingeführt.

Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].

Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
die Gleichheit

X(ω) = g(U(ω))

gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.

Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
folgendermaßen definiert.

g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)

Hierzu habe ich zwei Fragen.

1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wàre folgende Definition
àquivalent?

g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}

2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wàhlen?


Liebe Grüße,

Paul


[1] http://www.matheplanet.com/mathepla....php?topic0477
 

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#1 Paul Menzel
29/04/2012 - 23:17 | Warnen spam
Liebe Leute,


Am Sat, 28 Apr 2012 14:15:42 +0000 schrieb Paul Menzel:

zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
Inverse eingeführt.

Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].



das soll natürlich U : Ω → ℝ heißen.

Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
die Gleichheit

X(ω) = g(U(ω))

gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.

Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
folgendermaßen definiert.

g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)

Hierzu habe ich zwei Fragen.

1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wàre folgende Definition
àquivalent?

g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}

2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wàhlen?




Liebe Grüße und gute Nacht,

Paul


[1] http://www.matheplanet.com/mathepla....php?topic0477

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