X^3-2 irreduzibel als Polynom im 9. Kreisteilungskörper?

10/03/2010 - 17:59 von Detlef Müller | Report spam
Hallo, allerseits,

Gerade möchte ich meine Algebra Grundlagen auffrischen.

Irgendwie komme ich aber bei folgender Übungsaufgabe
(Algebra, Gö, letztes Semester) auf keinen grünen
Zweig ...

Zeige: X^3-2 ist irreduzibel über Q(c),
c = primitive 9-te Einheitswurzel.

Wie geht man da wohl ran - irgendwie scheint es darauf
hinauszulaufen, zu zeigen, daß 2^1/3 nicht im 9-ten
Kreisteilungskörper liegt ...
aber da dràngt sich mir kein eleganter Zugang auf.

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
 

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10/03/2010 - 21:44 | Warnen spam
Detlef wrote:
Hallo, allerseits,

Gerade möchte ich meine Algebra Grundlagen auffrischen.

Irgendwie komme ich aber bei folgender Übungsaufgabe
(Algebra, Gö, letztes Semester) auf keinen grünen
Zweig ...

Zeige: X^3-2 ist irreduzibel über Q(c),
c = primitive 9-te Einheitswurzel.

Wie geht man da wohl ran - irgendwie scheint es darauf
hinauszulaufen, zu zeigen, daß 2^1/3 nicht im 9-ten
Kreisteilungskörper liegt ...
aber da dràngt sich mir kein eleganter Zugang auf.




Q(c) enthàlt alle Terme, die aus rationalen Zahlen, aus der 9.
Einheitswurzel
und aus den Operationen +, -, *, / gebildet werden können.
Nun ist 2 ^ (1/3) keine rationale Zahl, aber auch keine Einheitswurzel
und auch nicht diese Wurzel mehrfach mit sich selbst multipliziert
oder irgendeine Kombination dieser mit einer rationalen Zahl.

Mit freundlichen Grüßen
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