x divides y exactly - Kannitverstan

10/03/2015 - 18:37 von Rainer Rosenthal | Report spam
In mathematischen Gefilden unterwegs zu sein, hat den
großen Vorteil, dass stets klar ist, welches Wort was
bedeutet. Und sollte es mal unklar sein, dann kann man
fragen und sich die Bedeutung erarbeiten.

Ganz in diesem Sinne habe ich erfreut festgestellt,
dass in dem Englischen Buch [1] vorneweg die
Bezeichnungen (notations) und wichtigen Funktionen
(main functions) definiert werden.

gamma(n) ist das Produkt der Primzahlen
"which divide n"
delta(n) ist das Produkt der Primzahlen
"which divide n exactly"

*Stutz* was ist der Unterschied? Aus dem Zusammenhang wird
es nicht ersichtlich, d.h. der Verfasser setzt die Kenntnis
des Unterschieds als bekannt voraus. Wenn es so allbekannt
ist, dann reicht ja eine simple Internetsuche nach "divides
exactly" aus. Dachte ich. In den meisten Fundstellen wurde
"x divides y exactly" gesagt, wenn x Teiler von y ist, weil
im Zusammenhang auch "Teilen mit Rest" möglich war. Klar,
was lasse ich mich auf umgangssprachliches Zeugs ein. Schluss
mit sowas wie http://en.wikipedia.org/wiki/Division_(mathematics)
und hin zu den Profis: http://mathworld.wolfram.com/Divide.html
Leider wird auch hier stillschweigend vorausgesetzt, dass der
Leser gewisse Grundkenntnisse mitbringt: Erstmals tritt "exactly"
in diesem Zusammenhang auf:

a^k || b means a^k divides b exactly

Tja, bumms, einfach so hingeschrieben, aber "exactly" wird nicht
erklàrt, sondern es wird als bekannt vorausgesetzt, um die
beiden senkrechten Striche || zu erklàren. Sackgasse? Jein!
Glücklicherweise kann ich nun Synapsen verschalten, denn diese
Schreibweise mit dem doppelten senkrechten Strich || hatte ich
doch auch gerade in [1] gelesen. Und es war dort deutlich erklàrt:
"By a|b, we mean that a divides b. Given a positive integer k,
by p^k||n we mean that p^k|n, but not p^(k+1)|n."

Und nun löst sich der Nebel! Man muss sich nur die Aussage

"p divides n exactly"

mit einem passenden k=1 aufschreiben:

"p^1 divides n exactly"

Und schon wird alles wunderbar klar: p teilt also n, aber p^2
teilt n nicht.
In der Rückschau muss ich zugeben, dass im Buch [1] bereits
alles stand. Ich benötigte allerdings den Umweg über die nicht
wirklich gute Erklàrung bei Wolfram, um auf den Gedanken zu
kommen, "p divides n exactly" zu lesen als "p^1 divides n exactly".

Gruß,
Rainer Rosenthal


[1] Those Fascinating Numbers
von J. M. de Koninck
www.ams.org/bookpages/mbk-64
 

Lesen sie die antworten

#1 Jan Fricke
11/03/2015 - 00:48 | Warnen spam
Hallo Rainer!
On 03/10/2015 06:37 PM, Rainer Rosenthal wrote:
Erstmals tritt "exactly"
in diesem Zusammenhang auf:

a^k || b means a^k divides b exactly


"By a|b, we mean that a divides b. Given a positive integer k,
by p^k||n we mean that p^k|n, but not p^(k+1)|n."

Und nun löst sich der Nebel! Man muss sich nur die Aussage

"p divides n exactly"

mit einem passenden k=1 aufschreiben:

"p^1 divides n exactly"

Und schon wird alles wunderbar klar: p teilt also n, aber p^2
teilt n nicht.



Für Primzahlen macht das keinen Unterschied, aber wenn a eine beliebige
(ganze) Zahl ist, wàre diese Definition àußerst unpraktisch, weil dann

(2^2)^2 || 32
wahr, aber
2^4 || 32
falsch wàre, obwohl (2^2)^2 = 2^4. So man das für zusammengesetzte
Zahlen braucht, müsste man sich schon überlegen, ob man
10 || 20
wahr oder falsch zuordnet. (Meine naive Interpretation (die für
Primzahlen das gleiche Ergebnis liefert) wàre ja:
a || b <==> a | b und b/a ist teilerfremd zu a.)

Viele Grüße Jan

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