(a*x+b)/(c*x+d) = y mit ganzen Zahlen

17/08/2012 - 14:26 von Timo | Report spam
(Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
schule.mathe gesetzt.)


Hallo, ich hab folgende Frage:

Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:

(a*x+b)/(c*x+d) = y

Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.

( Ich hatte neulich als Spezialfall eine Aufgabe, in der ich
zeigen konnte, dass in dem Zahlenbereich, in dem laut Aufgabe
x liegen sollte, für alle x der Term (a*x + b) betragsmàssig
kleiner ist als der Term (c*x+d), und dass deshalb der Bruch
betragsmàssig kleiner als 1 ist und also zwischen 0 und 1
liegt und keine ganze Zahl sein kann.

Aber es muss ja nicht bei jeder Aufgabe so sein, dass das
auf dem ganzen für x infragekommenden Zahlenbereich immer
so ist und dann müsste man Fallunterscheidung machen und
ich weiss nicht, wie man die Fàlle von x abhandelt, bei
denen der Zàhler grösser als der Nenner ist.

Vielleicht gibts da ein Verfahren, mit dem man herausfinden
kann, ob (c*x+d) für alle solchen x immer wenigstens einen
Teiler hat, den (a*x+b) nicht hat, und der bewirkt, dass
man den Bruch nicht zu einer ganzen Zahl y kürzen kann ... ? )


Ich bedank mich schonmal fürs Lesen und im voraus für
Antworten.

Feundliche Grüße

Timo
 

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#1 Helmut Richter
17/08/2012 - 15:40 | Warnen spam
[ Etwas wilde Einstellungen gesetzt:
Newsgroups: schule.mathe, de.sci.mathematik
Followup-To: poster ]

On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:

(Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
schule.mathe gesetzt.)



Och, das macht nichts. Die meisten Beitràge in de.sci.mathematik beschàftigen
sich eh nicht mit Mathematik, sondern mit der Diskussion darüber, ob die
Mathematik der letzten 130 Jahre falsch ist, was aber erst jetzt jemand
gemerkt und hier kundgetan hat. Die vorgebrachten Argumente werden aber von
niemand anders verstanden, teils weil sie offensichtliche Fehler enthalten,
teils weil nicht klar ist, was überhaupt gezeigt werden soll. Mal spricht man
geduldig aber ergebnislos miteinander, mal beleidigt man sich; zur Zeit ist
die zweite Variante dran. Insofern ist deine Frage in schule.mathe besser
aufgehoben: dort gehts zwar selten um irgendwas, wenn aber doch, dann um
Mathematik.

Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:

(a*x+b)/(c*x+d) = y

Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.



Die konkrete Lösung habe ich schon in schule.mathe gepostet.
Wie aber kommt man schnell drauf?

Wenn man den hàsslichen Bruchstrich durch Ausmultiplizieren beseitigt,
bekommt man eine quadratische Gleichung in x und y, quadratisch deswegen,
weil xy auch vorkommt. Wenn in einer solchen Gleichung kein Glied x²
(oder kein Glied y²) vorkommt, kann man alle Glieder, die x (oder sonst
eben y) enthalten, auf eine Seite schaffen und die Polynome dividieren.
Hier ist die Vorarbeit schon geleistet und man kann gleich dividieren.

Helmut Richter

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