Zahlen sind elementarer als Mengen

03/10/2009 - 18:33 von Albrecht | Report spam
Zahlen sind elementarer als Mengen


Zahlen stellen eine Zusammenfassung von uniformen Einheiten dar, wàhrend
Mengen eine Zusammenfassung von Individuen darstellen.

Die uniforme, "gesichtslose" Einheit der Zahl ist ein elementareres
Objekt wie das individuelle Element der Menge.

Komplexere Objekte können zwar komplexe Strukturen einfacher modellieren
als einfachere Objekte. Einfachere Objekte können aber mehr Strukturen
modellieren als komplexere Objekte.

Elementare Objekte können alle Strukturen modellieren die durch
komplexere Objekte modelliert werden können. Umgekehrt können
komplexerer Objekte nicht alle Strukturen modelliere die einfachere
Objekte modellieren können.

Da Zahlen elementarer sind als Mengen, ist eine mengenbasierte
Mathematik àrmer als eine zahlenbasierte Mathematik.


Hier ein Beispiel:

Der Begriff der Partition ist für Zahlen und Mengen unterschiedlich
definiert. Zahlenpartitionen unterscheiden sich von Mengenpartitionen.

Zahlenpartition ZP:

1: 1 -> ZP(1)=1
2: 1+1 = 2 -> ZP(2)=2
3: 1+1+1 = 2+1 = 3 -> ZP(3)=3
4: 1+1+1+1 = 2+1+1 = 2+2 = 3+1 = 4 -> ZP(4)=5
...

Mengenpartitionen MP:

1: {{1}} -> MP(1)=1
2: {{1},{2}}, {{1,2}} -> MP(2)=2
3: {{1},{2},{3}}, {{1,2},{3}}, {{1},{2,3}}, {{1,3},{2}}, {{1,2,3}} ->
MP(3)=5
...

Ich hoffe, meine etwas unübliche Schreibweise ist einigermaßen
verstàndlich.

Zahlenpartitionen können nicht mit Mengen nachgebildet werden.
Mengenpartitionen aber mit Zahlen. Ergo sind Zahlen elementarer als
Mengen und eine auf Mengen basierte Mathematik ist àrmer als eine auf
Zahlen basierte Mathematik die nàmlich Mengen immer mit enthàlt.

Eine "nette" Eigenschaft der Zahlenpartitionen liegt übrigens darin,
dass, genauso wie für Primzahlen, keine Formel angegeben werden kann,
die die Partitionen der n-ten nartürlichen Zahl angibt.

Gruß
Albrecht
 

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#1 Rainer Willis
04/10/2009 - 06:30 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
Zahlen sind elementarer als Mengen



Zu dem Wort elementar gibt es einen Komparativ? Interessant. Mag aber
sein, man hört ja sogar von "elementarsten Grundlagen" oder so.

Zahlen stellen eine Zusammenfassung von uniformen Einheiten dar, wàhrend
Mengen eine Zusammenfassung von Individuen darstellen.



"Uniforme Einheiten" sind in dieser Sprechweise also z.B. lauter Einsen,
etwa 1+1+1=3, wàhrend "Uschi", "Gabi" und "Babs" drei Blondinen sind,
die ansonsten nichts miteinander gemein haben und nicht austauschbar
sind? Ok.

Die uniforme, "gesichtslose" Einheit der Zahl ist ein elementareres
Objekt wie das individuelle Element der Menge.



"als" statt "wie", aber das nur am Rande. Inwiefern ist die Zahl denn
elementarer? Eine Menge darf ich doch definieren wie ich will, ihre
Elemente können Zahlen oder Blondinen sein.
Zwischen 2 e {1,2,3} und "Babs" e {"Uschi","Gabi","Babs"} seh ich
absolut keinen Unterschied, abgesehen von der Ordnungsrelation.

Komplexere Objekte können zwar komplexe Strukturen einfacher modellieren
als einfachere Objekte. Einfachere Objekte können aber mehr Strukturen
modellieren als komplexere Objekte.

Elementare Objekte können alle Strukturen modellieren die durch
komplexere Objekte modelliert werden können. Umgekehrt können
komplexerer Objekte nicht alle Strukturen modelliere die einfachere
Objekte modellieren können.



Das versteh ich nicht, worauf willst du eigentlich hinaus?
Definiere bitte
- modellieren
- elementare Objekte
- einfache (nicht-komplexe?) Objekte
- komplexe Objekte
- einfache (nicht-komplexe?) Strukturen
- komplexe Strukturen

Gruß Rainer



Da Zahlen elementarer sind als Mengen, ist eine mengenbasierte
Mathematik àrmer als eine zahlenbasierte Mathematik.


Hier ein Beispiel:

Der Begriff der Partition ist für Zahlen und Mengen unterschiedlich
definiert. Zahlenpartitionen unterscheiden sich von Mengenpartitionen.

Zahlenpartition ZP:

1: 1 -> ZP(1)=1
2: 1+1 = 2 -> ZP(2)=2
3: 1+1+1 = 2+1 = 3 -> ZP(3)=3
4: 1+1+1+1 = 2+1+1 = 2+2 = 3+1 = 4 -> ZP(4)=5
...

Mengenpartitionen MP:

1: {{1}} -> MP(1)=1
2: {{1},{2}}, {{1,2}} -> MP(2)=2
3: {{1},{2},{3}}, {{1,2},{3}}, {{1},{2,3}}, {{1,3},{2}}, {{1,2,3}} ->
MP(3)=5
...

Ich hoffe, meine etwas unübliche Schreibweise ist einigermaßen
verstàndlich.

Zahlenpartitionen können nicht mit Mengen nachgebildet werden.
Mengenpartitionen aber mit Zahlen. Ergo sind Zahlen elementarer als
Mengen und eine auf Mengen basierte Mathematik ist àrmer als eine auf
Zahlen basierte Mathematik die nàmlich Mengen immer mit enthàlt.

Eine "nette" Eigenschaft der Zahlenpartitionen liegt übrigens darin,
dass, genauso wie für Primzahlen, keine Formel angegeben werden kann,
die die Partitionen der n-ten nartürlichen Zahl angibt.

Gruß
Albrecht

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