Zahlendreher - falsche Zahl finden

04/12/2013 - 13:01 von Dr. Andreas J. Bittner | Report spam
Hallo,

da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
Mein Kontostand (Bank) wies gegenüber meinem Kontostand (Buchhaltung)
eine Differenz von genau 18 Euros auf.

Zuerst dachte ich, ich hàtte die falsche Verpflegungspauschale (6, 12
oder 18 Eus) eingetragen, weil ich annahm, bei irgendwelchen Zahlungen
(Kontogebühr etc.) sind die Zahlen ja immer "krumm", also mit Cent-Betràgen.

Heute fand ich, daß ich an einer Stelle 297,17 statt richtig 279,17
eingetragen hatte -- gefunden mit /brute force/ (also alles nachsehen).

Interessanterweise haben die beiden vertauschten Zahlen (7, 9) die
Differenz 2, also genau das was 18 an der 20 (wàre Fehler an der
10er-Stelle) fehlt.

Ich hatte mir, um die Suche zu vereinfachen, die Frage gestellt, welche
2- und 3-stelligen Zahlen gibt es, deren Differenz genau 18 betràgt,
wenn man 2 (benachbarte) Ziffern vertauscht bzw. wie kann ich mir leicht
(OpenOffice Calc) eine Liste solcher Zahlen erstellen.

Die Differenz gibts auch bei den Paaren (213, 231; 257, 275) und
vermutlich allen, deren Ziffern die Differenz 2 haben (zumindest, wenn
sie direkt benachbart sind) und nicht die erste Stelle getauscht wird
(123, 213: 90).

Gibt es ein(e) einfache(s) Formel/Schema, um aus einer beliebigen
Differenz (z. B. der 18 Euro) auf die vertauschten Ziffern zu schließen?
Und wie sieht eine Vertauschung übernàchster Nachbarn (123, 321) aus?
Und bei n-steligen Zahlen, wenn ich die Paare 1,n (n <= m) tausche? Wie
geht man sowas am besten an?

Danke für Antworten
Andreas
 

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#1 Ulrich D i e z
04/12/2013 - 15:26 | Warnen spam
Dr. Andreas J. Bittner schrieb:

Hallo,

da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
Mein Kontostand (Bank) wies gegenüber meinem Kontostand (Buchhaltung)
eine Differenz von genau 18 Euros auf.



Angenommen, es sind Ziffern vertauscht worden.

Eine der beiden das "Tauschpaar" bildenden Ziffern habe den Wert a.
Die andere der beiden das "Tauschpaar" bildenden Ziffern habe den Wert b.

Der Betrag der Differenz der Werte der das Tauschpaar bildenden Ziffern
sei mit k bezeichnet: |a -b| = k ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 (Gleichung 1).

Durch Vertauschung erhöht sich der Wert einer der beiden Ziffern also um k
und der Wert der anderen Ziffer erniedrigt sich um k .

Angenommen, die X-te Ziffer und die x-te Ziffer mit X > x seien
vertauscht worden.

Der Betrag der Differenz d zwischen Kontostand (Bank) und
Kontostand (Buchhaltung) ergibt sich dann zu

|d| = (10^(X-1)) * k - (10^(x-1)) * k ; X > x
|d| = (10^(X-1) - 10^(x-1) ) * k ; X > x
bzw
|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = k ; X > x (Gleichung 2).

Einsetzen von (Gleichung 1) in (Gleichung 2) ergibt:

|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 ; X > x (Gleichung 3).

[ Wenn (Gleichung 3) für gegebene X,x, |d| nicht diophantisch lösbar ist
(, weil der Quotient auf der linken Seite des Relationszeichens keine natürliche
Zahl < 10 darstellt), kommen keine entsprechenden "Zifferdreher" in Betracht.

Auch lustig ist die Frage, wie es bei mehreren Zifferdrehern aussieht ... ]

Beim erstgenannten Fall betràgt die Differenz zwischen Kontostand (Bank)
und Kontostand (Buchhaltung) 18 und es ist die erste Ziffer (Einerziffer)
mit der zweiten Ziffer (Zehnerziffer) vertauscht worden - also:

|d| = 18 ; X=2; x=1 .

Einsetzen dieser Werte für |d|, X und x in (Gleichung 3) ergibt:

18 / (10^(2-1) - 10^(1-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
18 / ( 10 - 1 ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
18 / 9 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
2 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10

Die Betragsangabe führt zur Fallunterscheidung [1] :

Fall 1:

a - b = -2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a + 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 7 ; b = 9
oder a = 6 ; b = 8
oder a = 5 ; b = 7
oder a = 4 ; b = 6
oder a = 3 ; b = 5
oder a = 2 ; b = 4
oder a = 1 ; b = 3
oder a = 0 ; b = 2

In Worten:
Wenn eine erste und eine zweite Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 7 mit einer 9 oder eine 6 mit einer 8 oder eine 5 mit einer 7
oder eine 4 mit einer 6 oder eine 3 mit einer 5 oder eine 2 mit einer 4 oder eine 1 mit
einer 3 oder eine 0 mit einer 2 vertauscht worden ist.


Fall 2:
a - b = 2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a - 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 9 ; b = 7
oder a = 8 ; b = 6
oder a = 7 ; b = 5
oder a = 6 ; b = 4
oder a = 5 ; b = 3
oder a = 4 ; b = 2
oder a = 3 ; b = 1
oder a = 2 ; b = 0

In Worten:
Wenn eine erste und eine zweite Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 9 mit einer 7 oder eine 8 mit einer 6 oder eine 7 mit einer 5
oder eine 6 mit einer 4 oder eine 5 mit einer 3 oder eine 4 mit einer 2 oder eine 3 mit
einer 1 oder eine 2 mit einer 0 vertauscht worden ist.

[1] "Anschaulich" gesprochen stellt die Fallunterscheidung die Unterscheidung
danach dar, ob der Kontostand (Bank) gegenüber dem Kontostand (Buchhaltung)
zu gross oder zu klein ist und die beiden Fàlle liefern einander entsprechende
"vertauschte" Zifferpaare.





(Gleichung 3) steht auch in Zusammenhang mit der Frage,
wie es bei einer Vertauschung einer ersten mit einer dritten Ziffer aussieht,
denn in so einem Fall wàre bei dreistelligen Zahlen anzusetzen mit
X = 3 und x = 1 und |d| = |123 - 321| = 198 -- dies eingesetzt in (Gleichung 3)
ergibt:

198 / (10^(3-1) - 10^(1-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
198 / (10^2 - 10^0 ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
198 / 99 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
2 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10


Die Betragsangabe führt zur Fallunterscheidung [1] :

Fall 1:

a - b = -2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a + 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 7 ; b = 9
oder a = 6 ; b = 8
oder a = 5 ; b = 7
oder a = 4 ; b = 6
oder a = 3 ; b = 5
oder a = 2 ; b = 4
oder a = 1 ; b = 3
oder a = 0 ; b = 2

In Worten:
Wenn eine erste und eine dritte Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 7 mit einer 9 oder eine 6 mit einer 8 oder eine 5 mit einer 7
oder eine 4 mit einer 6 oder eine 3 mit einer 5 oder eine 2 mit einer 4 oder eine 1 mit
einer 3 oder eine 0 mit einer 2 vertauscht worden ist.


Fall 2:
a - b = 2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a - 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 9 ; b = 7
oder a = 8 ; b = 6
oder a = 7 ; b = 5
oder a = 6 ; b = 4
oder a = 5 ; b = 3
oder a = 4 ; b = 2
oder a = 3 ; b = 1
oder a = 2 ; b = 0

In Worten:
Wenn eine erste und eine dritte Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 9 mit einer 7 oder eine 8 mit einer 6 oder eine 7 mit einer 5
oder eine 6 mit einer 4 oder eine 5 mit einer 3 oder eine 4 mit einer 2 oder eine 3 mit
einer 1 oder eine 2 mit einer 0 vertauscht worden ist.


[1] "Anschaulich" gesprochen stellt die Fallunterscheidung die Unterscheidung
danach dar, ob der Kontostand (Bank) gegenüber dem Kontostand (Buchhaltung)
zu gross oder zu klein ist und die beiden Fàlle liefern einander entsprechende
"vertauschte" Zifferpaare.



Ulrich

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