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Zahlentheorie-Problem

08/04/2008 - 22:03 von Andreas Eder | Report spam
Hallo,
ich habe da ein Problem, das mich schon eine ganze Zeit
beschàftigt. Sollte eigentlich ganz einfach sein,, aber ich komme
nicht auf den Dreh.

Sei (a,b,c) ein Tripel natürlicher Zahlen >= 2 mit folgenden
Eigenschaften:
a | bc + 1
b | ac + 1
c | ab + 1

Dann ist die einzige Lösung (2,3,7).

Einfach zu sehen ist, daß a,b,c paarweise teilerfremd sind; wenn a
= 2 gegeben ist dann kann nir noch b=3m c=7 sein. Aber den
allgemeinen Fall kriege ich nicht hin.

Das Problem ist aus dem Buch 'Einführung in die algebraische
Zahlentheorie' von A. Schmidt.

Hat jemand eine Idee, wie man das hinkriegt?

Übrigens, aus dem Studentenalter bin ich - leider - schon lange
raus. Ich mache das nur aus Spaß an der Freude.

'Andreas
ceterum censeo redmondinem esse delendam.
 

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#1 Rainer Rosenthal
09/04/2008 - 00:29 | Warnen spam
Andreas Eder schrieb:

Sei (a,b,c) ein Tripel natürlicher Zahlen >= 2 mit folgenden
Eigenschaften:
a | bc + 1
b | ac + 1
c | ab + 1


...
... Ich mache das nur aus Spaß an der Freude.




Hübsches Ràtsel. Ich kann Dir sehr empfehlen, ab und zu einen Blick
in die Newsgroup de.rec.denksport zu werfen. Dort werden Ràtsel
dieser Art gerne gestellt und es gibt alle Schwierigkeitsgrade
nach oben und nach unten. Dazu findest Du auch zum Teil sehr
spannende Lösungen von pfiffigen und gelehrten Leuten, an denen
sich viel lernen und Wissen auffrischen làsst.

Dort ist es üblich und erwünscht, Lösungen


durch einen





sogenannten




"Spoiler"



etwas zu verstecken,






damit man nicht versehentlich gleich die Lösung sieht.




Ich versuche mich mal im online-Ràtsellösen. Das ist eine Art des
Aufgabenlösens, die speziell kurz vor oder weit nach Mitternacht
interessante Ergebnisse bringt und reuevolle Rückrufe am nàchsten
Tag :-)

Hmm ... also das hier ist zu lösen:

a | bc + 1
b | ac + 1 (1)
c | ab + 1

Ob es wohl hilft, die Faktoren A = (bc+1)/a, B = (ac+1)/b und
C = (ab+1)/c ins Spiel zu bringen? Sie müssen ganze Zahlen sein.

Dass zwei der Zahlen a, b, c gleich sind, kann man ausschliessen,
denn wàre z.B. a = b, so hàtten wir C = (aa+1)/a = a + 1/a. Das
ist für natürliches a >=2 aber keine ganze Zahl! Na fein, dann hat
es also schon geholfen, die Faktoren A, B und C zu betrachten.

Wir können wegen der Symmetrie der Relationen (1) also o.B.d.A.
(ohne Beschrànkung der Allgemeinheit) annehmen, dass

a < b < c (2)

gilt. Die kleinsten natürlichen Zahlen >=2, die (2) erfüllen, sind
a = 2 und b = 3 und irgend ein c. Dieses c ist dann auch sehr schnell
gefunden, weil es ja grösser als 1 sein soll und 2*3+1=7 teilen soll.
Es muss dann c = 7 sein. Und Nachrechnen zeigt, dass alle Bedingungen (1)
erfüllt sind für (a,b,c) = (2,3,7).

Wie steht es mit (a,b,c) = (2,4,c)? Das kann man vergessen, weil a und
b nicht beide gerade sein dürfen. Dann wàre ja bc+1 ungerade, d.h. das
gerade a kann nicht bc+1 teilen; also kann (1) nicht erfüllt sein.

Nehmen wir mal (2,5,c), woraus folgt, dass c ein Teiler von 2*5+1 = 11
sein muss, der grösser ist als 5. Es folgt, dass c = 11 sein muss.
Damit ist "c | ab + 1" erfüllt. Wie steht es mit den anderen Relationen
von (1)? Teilt a = 2 wirklich bc+1 = 5*11+1 = 56? Ja, kein Problem.
Und teilt b = 5 auch ac+1 = 2*11+1 = 23? Nein, leider nicht.

Der nàchste interessante Fall ist (2,7,c) wobei c = 15 aus (1) und (2)
folgt. Die kritische Frage ist die, ob b = 7 ein Teiler ist von ac+1,
also von 2*15+1 = 31. Das ist wieder nicht der Fall.
Ach, ich sehe da auch schon etwas zum Verallgemeinern. Es ist ja a = 2 und
c = 2*b + 1 und somit ac+1 = 4*b+3. Damit das durch b teilbar sein
kann, muss 3/b eine ganze Zahl sein, also b = 3, weil b > a = 2.
Na prima: Wenn a = 2 und c = 2b+1, dann folgt b = 3 aus den Voraussetzungen!

Jede Lösung (2,b,c) mit 2 < b < c erfüllt die Bedingung c | 2b+1 mit
c > b. Offenbar muss dann C = (2b+1)/c gleich 1 sein. Denn wenn C >= 2 und
c > b, dann ist Cc >= 2(b+1) = 2b + 2 > 2b + 1, also nicht gleich 2b+1.

Daraus folgt, dass für a = 2 und Lösung (a,b,c) mit a < b < c gilt: c = 2b+1.
Und dafür habe ich bereits b = 3 errechnen können, womit dann c = 7 folgt.

Jetzt bleiben also nur noch die Lösungen (a,b,c) zu betrachten, für die
a > 2 ist. Auf Anhieb sehe ich da leider noch nichts, muss also wieder langsam
und zu Fuss Beispiele basteln. Systematisch gedacht kommt jetzt (3,4,c) an die
Reihe. Da ist dann c ein Teiler von 3*4+1, der grösser ist als 4. Also c = 13.
Beim Prüfen von (1) zeigt sich, dass "a | bc+1" nicht erfüllt ist, denn a = 3
teilt nicht bc+1 = 4*13+1 = 53. (Immerhin teilt b = 4 aber ac+1 = 3*13+1 = 40.)
Mal sehen, ob ich diesen Misserfolg verallgemeinern kann. Wenn c = ab + 1, dann
ist bc+1 = abb + b + 1, es muss also b+1 durch a teilbar sein, damit bc+1
durch a teilbar sein kann. Dies zeigt schon mal, dass (3,4,c) keine Lösung
sein kann, weil ja 4+1 nicht durch 3 teilbar ist.
Das führt also sofort zum nàchsten Versuch (3,5,c), wo ja b = 5 ist und folglich
b+1 durch a = 3 teilbar. Diesmal ist c als Teiler von 3*5+1 = 16, der grösser
als b = 5 sein soll, nicht unbedingt gleich ab+1 = 16 sondern es kommt auch
c = 8 in Frage. Teste (3,5,8): keine Lösung, weil 3 kein Teiler ist von 5*8+1 = 41.
Teste (3,5,16): keine Lösung, obwohl a=3 Teiler ist von 5*16+1 = 81; denn es ist
b=5 kein Teiler von 3*16+1.

Die magische Mitternacht ist làngst vorbei und die online-Überlegungen sollte
ich daher erst einmal abbrechen.

Gruss,
Rainer Rosenthal

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