Zeit in der Quantentheorie

03/10/2007 - 18:27 von Alexander Streltsov | Report spam
In einem Vorlesungsskript stand mal etwas darüber, dass die Zeit in der
Quantentheorie keine Observable sein kann.

Mir ist das nicht ganz klar, warum die Zeit eine so spezielle Bedeutung
hat. Der Ort ist beispielsweise àquivalent zum Impuls, in der Hinsicht
dass sich alle Vorgànge auch im Impulsraum formulieren lassen. Und
natürlich gibt es Operatoren mit Ort bzw Impuls als Eigenwerte.

Liegt die Besonderheit darin, dass die Zeit explizit und in allen
Darstellungen in der Schrödingergleichung vorkommt?
 

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#1 Arnold Neumaier
03/10/2007 - 19:43 | Warnen spam
Alexander Streltsov schrieb:
In einem Vorlesungsskript stand mal etwas darüber, dass die Zeit in der
Quantentheorie keine Observable sein kann.

Mir ist das nicht ganz klar, warum die Zeit eine so spezielle Bedeutung
hat. Der Ort ist beispielsweise àquivalent zum Impuls, in der Hinsicht
dass sich alle Vorgànge auch im Impulsraum formulieren lassen. Und
natürlich gibt es Operatoren mit Ort bzw Impuls als Eigenwerte.

Liegt die Besonderheit darin, dass die Zeit explizit und in allen
Darstellungen in der Schrödingergleichung vorkommt?



Im Schr"odingerbild ist der Zustand f"ur fixe Zeiten definiert,
und damit die Zeit ausgezeichnet. Hier ist Zeitmessung schwierig zu
diskutieren, da die Zeit, zu der ein Zustand betrachtet wird,
immer scharf ist.

Im Heisenbergbild kommt die Zeit als Parameter in den Observablen vor,
und ist damit auch ausgezeichnet, aber auf andere Weise.
Parameter sind de facto einfach kontinuierliche Indices und keine
Observablen. So wie 3 keine Observable ist, p_3 aber schon, so ist t
keine Observable, H(t) aber schon. Observablen haben zu _jedem_
Zeitpunkt einen mittleren Wert; der Zeitpunkt (''jetzt'') ist nicht
als Observable modelliert.

Was man aber modellieren kann, ist dagegen eine Uhr, d.h. eine
Observable, die sich auf vorhersagbare Weise mit der Zeit "andert.
Hat man ein System, in dem eine Observable u(t) das Verhalten
ubar(t) := <u(t)> = u_0 + v (t - t_0) (v nicht 0) (*)
mit gen"ugender Genauigkeit erf"ullt, so hat man eine Uhr,
und kann anhand von <u(t)> feststellen, wieviel Zeit
T = Delta t
zwischen zwei beobachteten Datens"atzen vergangen ist.
Das ist die normale Art, wie wir auch klassisch Zeit messen.

Dazu muss nat"urlich T gegen"uber der intrinsischen Unsch"arfe
Sigma_T := |v^{-1}| sigma(u(t))
von T gross genug sein. Dabei ist
sigma(u(t)) = sqrt(<(u(t)-ubar(t))^2>)
die Standardabweichung von u(t) im ordnungsgem"assen
(quantenmechanischen) Zustand <.>. Ist (*) signifikant fehlerbehaftet,
so ist Sigma_T nat"urlich entsprechend gr"osser.


In der relativistischen Quantenfeldtheorie (die fast immer im
Heisenbergbild formuliert wird) wird aus der 1-dimensionalen Zeit t
die 4-dimensionale Raumzeit x. Auch x tritt als Parameter der
Observablen (Felder) auf, und ist daher keine Observable.
Ort und Zeit sind zwar jetzt gleichberechtigt, aber beide als
Nichtobservable. Die Observablen sind Felder; Orte und Zeiten werden
durch unscharfe 1-dimensionale Weltlinien mit hoher <Felddichte>
modelliert. (Man denke an die Spur eines Teilchens in der Blasenkammer.)

Jetz braucht man zur Orts- und Zeitmessung ein 4-Vektorfeld u(t)
mit
<u(t)> = u_0 + V (x - x_0)
mit einer regul"aren 4x4-Matrix V, und die intrinsische Unsch"arfe
nimmt die Form
Sigma_T := sigma(V^{-1}u(t))
an, wobei
sigma(a(t)) = sqrt(<(a(t)-abar(t))^*(a(t)-abar(t))>),
abar(t)=<a(t)>
ist.

Fazit: In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird Zeit immer
indirekt "uber Observablen von Uhren in kalibirierten Zust"anden
gemessen. In der relativistischen Quantenfeldtheorie gilt dasselbe
f"ur Position und Zeit.


Das funktioniert allerdings nur, wenn man einzelnen Uhren einen
wohldefinierten Zustand zuordnet, also eine Version der
Kopenhagen-Interpretation zugrundelegt.

In der minimalen statistischen Interpretation braucht man ein
ganzes Ensemble von identisch pr"aparierten Uhren, um Zeit messen
zu k"onnen...


Arnold Neumaier

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