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Zeitkontinuierliche Markovketten

29/07/2010 - 00:33 von Ivo Siekmann | Report spam
Zeitkontinuierliche Markovketten mit n Zustaenden werden oft durch
folgende Differentialgleichung definiert:

d P(t) / d t = P(t) Q, P(0)=I_{n}, Q \in R^{n x n}

mit

q_{ij} >= 0 fuer i != j und q_{ii} = \sum_{i != j} (- q_{ij}).

Die Loesung dieser Differentialgleichung ist die Zustandsuebergangsmatrix

P(t) = exp( Q t ).

Bisher habe ich nicht die folgende Definition gesehen, bei der p(t) ein
stochastischer Vektor ist:

d p(t) / d t = p(t) Q, p_0 \in R^n.

wobei p_0 ein stochastischer Vektor ist, dessen positive Komponenten
aufsummiert 1 ergeben und der die Anfangswahrscheinlichkeiten angibt,
dass die Markovkette sich in einem der n Zustaende befindet.

Gibt es einen besonderen Grund, warum die erste Definition
gebraeuchlich(er) ist?

Vielen Dank, beste Gruesse!
Ivo
 

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#1 Bastian Erdnuess
29/07/2010 - 03:34 | Warnen spam
Ivo Siekmann wrote:

Zeitkontinuierliche Markovketten mit n Zustaenden werden oft durch
folgende Differentialgleichung definiert:

d P(t) / d t = P(t) Q, P(0)=I_{n}, Q \in R^{n x n}

mit

q_{ij} >= 0 fuer i != j und q_{ii} = \sum_{i != j} (- q_{ij}).

Die Loesung dieser Differentialgleichung ist die Zustandsuebergangsmatrix

P(t) = exp( Q t ).

Bisher habe ich nicht die folgende Definition gesehen, bei der p(t) ein
stochastischer Vektor ist:

d p(t) / d t = p(t) Q, p_0 \in R^n.

wobei p_0 ein stochastischer Vektor ist, dessen positive Komponenten
aufsummiert 1 ergeben und der die Anfangswahrscheinlichkeiten angibt,
dass die Markovkette sich in einem der n Zustaende befindet.

Gibt es einen besonderen Grund, warum die erste Definition
gebraeuchlich(er) ist?



Das ist einfach die Bestimmungsgleichung der Zustandübergangsmatrix.
Das Zweite ist die Bestimmungsgleichung der Verteilungsvektoren, sie
hàngen über die Gleichung p(t) = p_0 * P(t) mit der Übergangsmatrix
zusammen.

Das sind aber beides nicht die Definitionen der Markovkette an sich!
Allerdings wird die Markovkette durch die Anfangsverteilung und die
Übergansmatrix schon eindeutig beschrieben.

Genauso, wie die daher Übergansmatrix P bei diskreten Ketten interessant
ist, da p(n+1) = p(n) * P oder allgemeiner p(n+k) = p(n) * P^k gilt, ist
sie auch für kontinuierliche Ketten interessant, da genauso p(t+s) p(t) * P(s) gilt. Mit P = P(1) = exp Q gilt sogar haargenau p(t+s) p(t) * P^s.

Bei diskreten Ketten làsst sich P selber schon gut interpretieren, bei
kontinuierlichen Ketten làsst sich aber Q (= "ln" P) besser
interpretieren, daher geht man über den Umweg.

Gruß,
Bastian

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