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Zeitoperator in der QM

19/05/2008 - 21:13 von Andi | Report spam
Hallo,

ich hab das nicht ganz verstanden warum [H,T]=ih besagt, dass wenn H
eine untere Schranke hat, T auch eine haben müßte und es deswegen
keinen Zeitoperator geben kann. Ich dachte die hàtten gemeinsame
Eigenfunktionen, wenn der Kommutator 0 ergàbe. Über ein bisschen
Nachhilfe wàre ich sehr dankbar.

Gruß,
Andreas
 

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#1 Ilja Schmelzer
20/05/2008 - 10:30 | Warnen spam
On 19 Mai, 21:13, Andi wrote:
ich hab das nicht ganz verstanden warum [H,T]=ih besagt, dass wenn H
eine untere Schranke hat, T auch eine haben müßte und es deswegen
keinen Zeitoperator geben kann. Ich dachte die hàtten gemeinsame
Eigenfunktionen, wenn der Kommutator 0 ergàbe. Über ein bisschen
Nachhilfe wàre ich sehr dankbar.



[H,exp(ikT)] = [H, 1 + ikT +1/2 (ikT)^2 + ...+ 1/n! (ikT)^n + ...]
= 0 + ih ik + ih ik ikT + ...+ ih n 1/n! ik (ikT)^(n-1) + ..
= -hk exp(ikT).

(Dabei verwendet: [H,AB] = [H,A] B + A [H,B])

Es sei psi> ein Eigenvektor fuer H mit minimaler Energie.
H psi> = E_0 psi>. Dann gilt

H exp(ikT) psi> = exp(ikT) H psi> + [H,exp(ikT)] psi>
= exp(ikT) E_0 psi> - hk exp(ikT) psi>
= (E_0 - hk) exp(ikT) psi>,

also ist exp(ikT) psi> ein Eigenvektor von H mit Energie E_0 - hk.
Im Widerspruch zur Annahme, die Energie E_0 sei minimal.

Mit einer unteren Schranke fuer T hat das allerdings nichts zu tun.
Auch für ein T, welches eine untere Schranke hat, wàre der Operator
exp ikT ja wohldefiniert und hàtte die obige Eigenschaft. Außerdem
kann T gar keine untere Schranke haben, eben aus denselben Gründen wie
H keine haben kann, nur eben mit H und T vertauscht.

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