Zerlegung überabzählbarer Mengen

01/07/2009 - 22:15 von m1ch1 | Report spam
Hallo,
ich habe folgendes Problem von dem ich nicht weiß, ob die Aussage
beweisbar oder widerlegbar ist:
"Jede überabzàhlbare Menge ist zerlegbar in eine überabzàhlbare Menge
deren Komplement ebenfalls überabzàhlbar ist."
Wàre schön wenn mir einer einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel angeben
könnte.
 

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#1 fiesh
01/07/2009 - 23:05 | Warnen spam
On 2009-07-01, m1ch1 wrote:
Hallo,
ich habe folgendes Problem von dem ich nicht weiß, ob die Aussage
beweisbar oder widerlegbar ist:
"Jede überabzàhlbare Menge ist zerlegbar in eine überabzàhlbare Menge
deren Komplement ebenfalls überabzàhlbar ist."
Wàre schön wenn mir einer einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel angeben
könnte.



Ja, das ist richtig. Ist M diese Menge, so sei kappa := |M|. Aber
kappa so zu partitionieren ist trivial, etwa K_1 := { alpha in kappa |
alpha gerade } und K_2 := { alpha in kappa | alpha ungerade }, wobei
eine Ordinalzahl alpha genau dann gerade ist, wenn sie von der Form
delta + 2n ist, mit n natuerliche Zahl und delta Limesordinalzahl.

Damit gilt dann staerker, dass jede unendliche Mengen M in zwei Mengen
M_1 und M_2 partitionierbar ist, so dass |M_1| = |M_2| = |M| gilt.

Ob das ganze auch ohne Auswahlaxiom gilt ist mir jetzt nicht ganz klar,
muss ich morgen bei klarem Kopf mal drueber nachdenken, aber ist die
Frage, ob's wirklich interessant ist.

fiesh

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