Ziehen mit Zurücklegen .. im Mittel wie viele Doppelte?

30/09/2007 - 17:09 von schokochris | Report spam
Hallo newsgroup!

Kombinatorik ist bei mir schon so lange her und jetzt brauch ich es
mal wieder für meine Diplomarbeit. Außerdem ist das glaube ich keine
einfacher Fall. Vielleicht könnt ihr helfen.

Aus N Zahlen (1..N) ziehe ich zufàllig n Zahlen mit zurücklegen.
Nun will ich wissen, wie viele bei den n gezogenen Zahlen mindestens
doppelt, dreifach, ... vorkommen.

Vielen Dank für die Hilfe
Christian
 

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#1 Thomas Plehn
30/09/2007 - 18:15 | Warnen spam
schokochris schrieb:
Hallo newsgroup!

Kombinatorik ist bei mir schon so lange her und jetzt brauch ich es
mal wieder für meine Diplomarbeit. Außerdem ist das glaube ich keine
einfacher Fall. Vielleicht könnt ihr helfen.

Aus N Zahlen (1..N) ziehe ich zufàllig n Zahlen mit zurücklegen.
Nun will ich wissen, wie viele bei den n gezogenen Zahlen mindestens
doppelt, dreifach, ... vorkommen.

Vielen Dank für die Hilfe
Christian




Hallo, ich weiß nicht, ob es da eventuell eine einfachere Möglichkeit
gibt, aber zuerst denkt man da an die Multinomialverteilung:

Sei x_1, x_2, ... , x_N jeweils die Anzahlen der Kugeln der Farbe 1, 2,
... , N.

Dann muss stets gelten x_1 + x_2 + ... + x_N = n

Dabei kann man alle Zusammenstellungen dieser Form mit einem Computer
durchgehen.

Die Wahrscheinlichkeit für jede solche Zusammenstellung ist nach
Multinomialverteilung, da die Wahrscheinlichkeiten p_i für alle Farben
1, 2, ... , N gleich sind:

p(x_1,x_2,...,x_N) = n! / (x_1! * x_2! * ... * x_N!) * (1/N)^n

nun müsste es leicht sein, aus einer Folge der x_1, x_2, ... , x_N die
Anzahl der doppelten Farben zu berechnen: Man zàhlt die Anzahl der x_i
mit x_i = 2. Dies bezeichnen wir mit #d(x_1,x_2,...,x_N).

Der Erwartungswert E[#d] ergibt sich nun also als

\sum_{x_1 + x_2 + ... + x_N = n} p(x_1,x_2,...,x_N) *#d(x_1,x_2,...,x_N)

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