Ziffernquadratesummen

31/08/2009 - 21:50 von Ralf . K u s m i e r z | Report spam
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Moin!

Also, wie Mathelehrer so ticken, ist unsereinem ja nicht immer so
richtig nachvollziehbar. Da kommt also der kleine Dotz (5. Klasse) aus
dem Mathe-Arbeitskreis nach Hause und erzàhlt, der Lehrer habe ihnen
aufgegeben, die Folgen von Summen von Ziffernquadraten zu bilden und
zu schauen, ob ihnen dabei etwas auffiele.

Also so:

Man nehme eine Zahl N, z. B. N = 47, und bildet die Folge

47, 65, 51, 26, 40, 16, ...

Ja, was fàllt einem denn so auf?

Offenbar gibt es Fixpunkte, nàmlich 0 und 1. Für große Zahlen ist der
"Nachfolger", also die Summe der Ziffernquadrate, deutlich kleiner als
die Ausgangszahl, also ist die Abbildungsvorschrift fast überall
kontrahierend.

Das geht auch genauer:

Die Ziffernquadratesumme S(N_n) einer n-stelligen Zahl N_n kann
maximal den Wert S(N_n)_max = 81*n annehmen. Damit gibt es ein
maximales n, für das alle S(N_n_max) maximal n-1-stellig sind. Dieses
n_max ist 4:

81*4 = 324 < 10^3,

also

n_S(S(N_n)) < n für n > 3

Wenn man dann mal so ein paar N durchprobiert, dann stellt man fest,
daß man dabei immer findet, daß die Folge entweder auf eine Fixpunkt 1
làuft, z. B.

14211, 23, 13, 10, 1, 1, ...

oder in eine zyklische Folge

..., 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

mündet.

Hm, ob das verallgemeinerbar ist? Mal nachdenken...

Nee, ist zu anstrengend: Ausprobieren ist einfacher. S(N_n) ist fast
überall kontrahierend, also brauchen wir nur alle Zahlen bis zur
Grenze durchzuhecheln. Die Nachfolger aller vierstelligen Zahlen sind
höchstens dreistellig, daher kann man sich auf die maximal
dreistelligen Zahlen beschrànken. Das größte S(N_3) ist offenbar 3*81
= 243, also reicht es, zu schauen, ob die Folgen, die mit N=0..243
anfangen, zyklisch werden.

Rechner anschmeiß, ausprobier: Jawohl, sind sie, und es gibt außer den
beiden trivialen Zyklen nur den o. a. achtelementigen Zyklus, der 4
enthàlt.

Ja, und was lernt uns das? Und warum soll ein 10jàhriges Kind mit
sowas rumprobieren?

Und was kann man damit anfangen, wie es verallgemeinern?

Was für Zyklen kommen denn bei anderen Stellenwertsystemen heraus, wie
lang können die "Zulaufwege" werden, bis die Folge zyklisch wird, gibt
es Stellenwertsysteme, in denen die Ziffernquadratsummenfolgen nicht
zyklisch werden? Letzteres offenbar nicht: In allen
Stellenwertsystemen sind die Folgen offenbar fast immer streng monoton
fallend, also gibt es ein Supremum, und damit müssen die Folgen
zyklisch werden, und die maximal mögliche Anzahl der Zyklen làßt sich
daraus auch leicht ableiten.

Aber ich habe das unbehagliche Gefühl, daß ich die Pointe nicht
kapiert habe, denn das sieht nach derart nutzlos aus, daß ich wirklich
nicht weiß, wieso man sich darüber den Kopf zerbrechen sollte.

Also: Wo ist das abgehandelt, wofür braucht man das?


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 mock
31/08/2009 - 23:46 | Warnen spam
On 31 Aug., 21:50, "Ralf . K u s m i e r z"
wrote:
Was für Zyklen kommen denn bei anderen Stellenwertsystemen heraus, wie
lang können die "Zulaufwege" werden, bis die Folge zyklisch wird, gibt
es Stellenwertsysteme, in denen die Ziffernquadratsummenfolgen nicht
zyklisch werden? Letzteres offenbar nicht: In allen
Stellenwertsystemen sind die Folgen offenbar fast immer streng monoton
fallend, also gibt es ein Supremum, und damit müssen die Folgen
zyklisch werden, und die maximal mögliche Anzahl der Zyklen làßt sich
daraus auch leicht ableiten.



Interessant ist jedenfalls, dass in anderen Zahlensystemen Zyklen
anderer Làngen vorkommen. Zudem ist die 1 nicht als eingliedriger
Zyklus ausgezeichnet.

321:

dezimal nonal oktal

14 121 32
17 6 15
50 40 32
25 17
29 55
85 55
89
145
42
20
4
16
37
58
89


Also: Wo ist das abgehandelt, wofür braucht man das?



Tja ...

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