Zu Goodstone

31/03/2016 - 19:05 von Sam Sung | Report spam
WM zitiert immerzu:

"It is a general rule that every strictly decreasing sequence of ordinal
numbers reaches its smallest element after a finite number of steps.
2.15 Goodstein sequences, p. 47ff
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
"

Das wundert das WM genauso, wie die Logik, nach der man eben

* per Nachfolgeroperation *

niemals eine Limesordinalzahl erreichen kann, denn diese hat keinen
bestimmten Vorgànger - vielmehr darf man zu j e d e m beliebigen
Vorgànger springen, von omega aus also auch direkt zur Eins oder direkt
zur Null! Daran ist nix verwunderliches, denn die

Limesordinalzahlen sind Äquivalenzklassen von Mengen

. Das ist auch der Grund dafür, das man das Goodstone-Theorem nicht
mit den Peano-Axiomen beweisen kann, w e i l eben deren einzige
Operation sich auf direkten Vorgànger oder Nachfolger bezieht.



Zur Information für Interessierte hierzu ein Z i t a t aus dem Web:

"Das ist genau das Ergebnis, das wir oben in unserem Beispiel gesehen haben:
Die Ordinalzahlen, bei denen die jeweilige Basis durch ω ersetzt ist, werden
in jedem Schritt kleiner.

Aber bedeutet das, dass die Ordinalzahlenfolge irgendwann auf Null
heruntergeht? Immerhin sind Ordinalzahlen ja unendlich große Objekte. Wenn
man da jedesmal Eins abzieht, dann wird man ja wohl nicht bei Null ankommen,
sondern ewig weiter herunterzàhlen?!


Diese Überlegung enthàlt einen Denkfehler:


Wir ziehen nicht jedesmal Eins ab! Das tun wir nàmlich nur, wenn die
Ordinalzahl einen Vorgànger hat, also eine um Eins kleinere Ordinalzahl.
Sobald wir aber bei einer Grenz-Ordinalzahl wie beispielsweise ω ankommen,
gibt es keinen Vorgànger.


Die nàchstkleinere Ordinalzahl wird einfach eine der
unendlich vielen Ordinalzahlen sein, die kleiner als
die Grenzzahl sind.

Von dieser Zahl aus können wir dann wieder herunterzàhlen, bis die nàchste
Grenzzahl in endlich vielen Schritten erreicht ist und der nàchste Sprung
nach unten bevorsteht.

Es ist schon etwas verwirrend: Zàhlt man von unten nach oben, so kann man
unendlich lange zàhlen, ohne die nàchste Grenzzahl zu erreichen, denn man
findet immer einen Nachfolger, der kleiner als die nàchste Grenzzahl ist.
Hat man dagegen eine absteigende Folge von Ordinalzahlen, so muss man bei
jeder Grenzzahl einen Sprung nach unten machen, denn einen direkten
Vorgànger gibt es nicht:

...

Damit haben wir alle Zutaten für den Beweis zusammen, der nun einfach so
aussieht:

• Beweis des Satzes von Goodstein:

Wenn wir in einer Goodsteinfolge in der iterierten Darstellung in jedem
Folgenglied gi(n) die jeweilige Basis i+1 durch ω ersetzen, so entsteht eine
Folge von Ordinalzahlen Bi+1ω (gi(n)) , die alle jeweils größer sind als
das entsprechende Goodstein-Folgenglied:

Bi+1ω (gi(n)) > gi(n)

Andererseits ist die Folge der Ordinalzahlen strikt absteigend, d.h.

Bi+1ω (gi(n)) < Biω (gi−1(n))

Diese Folge endet also nach endlich vielen Schritten bei Null. Damit muss
auch die kleinere Goodsteinfolge nach endlich vielen Schritten bei Null
enden.

"
 

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#1 WM
31/03/2016 - 22:32 | Warnen spam
Am Donnerstag, 31. Màrz 2016 19:06:19 UTC+2 schrieb Sam Sung:
WM zitiert immerzu:



Goodstein heißt der Mann.

https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
"
vielmehr darf man zu j e d e m beliebigen
Vorgànger springen, von omega aus also auch direkt zur Eins oder direkt
zur Null! Daran ist nix verwunderliches



Warum darf man nicht von omegahochomega auf Null springen?

Hat man dagegen eine absteigende Folge von Ordinalzahlen, so muss man bei
jeder Grenzzahl einen Sprung nach unten machen, denn einen direkten
Vorgànger gibt es nicht:



Aber es gibt immer eine Zahl, die größer ist als die auf die man gesprungen ist. Damit ist bewiesen, dass man unendlich viele Zahlen ausgelassen und die Folge nicht korrekt durchlaufen hat.

Diese Folge endet also nach endlich vielen Schritten bei Null.



Wenn man möchte, sogar nach einem Schritt, denn die Wollust an der Kontraintuitivitàt wird vor dem sofortigen Sprung auf Null gewiss nicht zurückschrecken. Oder doch?

Gruß, WM

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