Quelle zu Möbiustransformation

28/08/2008 - 16:25 von Philipp Waehnert | Report spam
Hallo,

ich suche für meine Diplomarbeit eine Quelle (ein Lehrbuch wàre am
besten), die folgende Sàtze enthàlt:

* Sei A=[[a b][c d]] eine komplexe 2x2-Matrix mit det A=1. Dann ist
die Abbildung M_A(z)=(az+b)/(cz+d) eine bijektiv Abbildung auf C u
{oo} und holomorph auf C \ {-d/c} bzw. C.

* Ist B eine zweite 2x2-Matrix mit det B=1, so gilt M_A o M_B M_(A*B).

Insbesondere ist der Beweis des zweiten Satzes sehr umstàndlich, wenn
man alle Eventualitàten berücksichtigen will, und tràgt zum
Verstàndnis der Arbeit kaum bei. Daher suche ich eine passende Quelle.

Grüße und vielen Dank,
Philipp
 

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#1 Lukas-Fabian Moser
29/08/2008 - 09:59 | Warnen spam
Philipp Waehnert wrote:

ich suche für meine Diplomarbeit eine Quelle (ein Lehrbuch wàre am
besten), die folgende Sàtze enthàlt:

* Sei A=[[a b][c d]] eine komplexe 2x2-Matrix mit det A=1. Dann ist
die Abbildung M_A(z)=(az+b)/(cz+d) eine bijektiv Abbildung auf C u
{oo} und holomorph auf C \ {-d/c} bzw. C.

* Ist B eine zweite 2x2-Matrix mit det B=1, so gilt M_A o M_B > M_(A*B).

Insbesondere ist der Beweis des zweiten Satzes sehr umstàndlich, wenn
man alle Eventualitàten berücksichtigen will, und tràgt zum
Verstàndnis der Arbeit kaum bei. Daher suche ich eine passende Quelle.



Eventuell wird der Beweis einfach genug, um ihn explizit auszuführen,
wenn man sich überlegt, daß man die angegebene Operation folgendermaßen
erhalten kann: betrachte die übliche Operation von GL_2(C) auf C^2 -
{0}. Auf C^2 - {0} betrachte nun die Äquivalenzrelation, die (x,y) mit
(ax,ay) für jedes von null verschiedene a e C identifiziert. Der
Quotientenraum CP^1 nennt sich der "eindimensionale projektive Raum über
C"; die Äquivalenzklasse von (x,y) notiert man meist als [x:y]. Er
enthàlt C etwa durch die Einbettung i: z |-> [z:1].

Nun muß man nur zeigen, daß die kanonische Operation von GL_2(C) auf C^2
eine wohldefinierte Operation auf dem Quotienten CP^1 liefert. Die
Einschrànkung auf C (vermöge der Einbettung i) ist genau die Operation
durch Möbiustransformationen.

Insbesondere ergeben sich die von dir gewünschten Abbildungen sàmtlich
aus den entsprechenden wohlbekannten Eigenschaften der Multiplikation
Matrix * Vektor.

Lukas

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