Zu welcher Menge ist |N die Potenzmenge?

01/05/2009 - 10:45 von sbwerbe | Report spam
Hallo zusammen,

wieder einmal habe ich eine etwas dumme Verstàndnisfrage. Gibt es eine
Menge, zu der |N die Potenzmenge ist? Ich vermute stark, daß es keine
solche Menge gibt, weil |N als aleph_0 definiert ist, aber gibt es
eine befriedigerende Begründung? Oder anders, gibt es eine
Umkehroperation zur Potenzmengenbildung, und kann man zeigen, daß sie
bei |N versagt?

Besten Dank,
Sebastian
 

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#1 Lukas-Fabian Moser
01/05/2009 - 10:55 | Warnen spam
Hallo,

On Fri, 1 May 2009 01:45:15 -0700 (PDT), wrote:

wieder einmal habe ich eine etwas dumme Verstàndnisfrage. Gibt es eine
Menge, zu der |N die Potenzmenge ist? Ich vermute stark, daß es keine
solche Menge gibt, weil |N als aleph_0 definiert ist, aber gibt es
eine befriedigerende Begründung? Oder anders, gibt es eine
Umkehroperation zur Potenzmengenbildung, und kann man zeigen, daß sie
bei |N versagt?



Eine solche Menge kann es tatsàchlich nicht geben. Sei nàmlich X eine
Menge, dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1) X ist endlich
2) X hat mindestens die Kardinalitàt von N.

(Beweis: Ist X nicht endlich, so kann man induktiv eine Injektion N ->
X konstruieren.)

Im ersten Fall ist die Potenzmenge P(X) wieder endlich. Im zweiten
Fall hat die Potenzmenge mindestens die Kardinalitàt von P(N), also
die Kardinalitàt von R.

Grüße, Lukas

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