Zu zeigen ist, dass jeder Primteiler von n=9a^2+3a+1 kongruent 1 mod 3 ist (a aus Z).

21/06/2011 - 10:00 von thomas | Report spam
Hallo :-)

Ich versuche mich jetzt schon lànger an einer Aufgabe aus der
algebraischen Zahlentheorie.

Zu zeigen: Für jedes a aus Z hat die natürliche Zahl n=9a^2+3a+1 nur
Primteiler p kongruent 1 mod 3

Vielleicht kann man benutzen:
(p/3)=1 [Legendre-Symbol] genau dann wenn p kongruent 1 mod 3
bzw. für ungerade p folgt mit dem Quadratischen Reziprozitàtsgesetz
und dem Ergànzungssatz für -1:
(-3/p)=1 [Legendre-Symbol] genau dann wenn p kongruent 1 mod 3

Man sieht auch leicht: n=9a^2+3a+1=(3a+1)^2-3a
also, wenn p Primteiler von n: (3a+1)^2 kongruent 3a mod p

Da p weder 3 teilt noch a teilt (sonst würde p auch 1 teilen) ist 3a
also quadratischer Rest mod p und somit (3a/p)=1

Ich weiß aber nicht, ob dass einen überhaupt weiter bringt ???

Grüße, Thomas
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
21/06/2011 - 11:55 | Warnen spam
Am 21.06.2011 10:00, schrieb thomas:
Hallo :-)

Ich versuche mich jetzt schon lànger an einer Aufgabe aus der
algebraischen Zahlentheorie.

Zu zeigen: Für jedes a aus Z hat die natürliche Zahl n=9a^2+3a+1 nur
Primteiler p kongruent 1 mod 3

Vielleicht kann man benutzen:
(p/3)=1 [Legendre-Symbol] genau dann wenn p kongruent 1 mod 3
bzw. für ungerade p folgt mit dem Quadratischen Reziprozitàtsgesetz
und dem Ergànzungssatz für -1:
(-3/p)=1 [Legendre-Symbol] genau dann wenn p kongruent 1 mod 3

Man sieht auch leicht: n=9a^2+3a+1=(3a+1)^2-3a
also, wenn p Primteiler von n: (3a+1)^2 kongruent 3a mod p

Da p weder 3 teilt noch a teilt (sonst würde p auch 1 teilen) ist 3a
also quadratischer Rest mod p und somit (3a/p)=1

Ich weiß aber nicht, ob dass einen überhaupt weiter bringt ???

Grüße, Thomas



Hallo Thomas!

Ich teile dir jetzt nicht meine Lösung mit.
Nur zwei Hinweise zur Lösungsfindung:

1.)(9*a^2+3*a+1)*(3*a-1) = (3*a)^3-1
2.)Satz von Euler-Fermat

Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

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