Zum Diagonalargument

06/11/2015 - 17:10 von WM | Report spam
1) Die Menge aller definierbaren Zahlen ist abzàhlbar. Jede Diagonalisierung ist endlich beschreibbar und damit definierbar (so wie jeder Gedanke, der im Universum je gedacht worden ist und gedacht werden wird). Daher hat das Diagonalargument nicht entfernt mit Überabzàhlbarkeit zu tun.

2) Sei eine Aufzàhlung aller rationalen Zahlen in Form von Zifferndarstellungen gegeben. Ohne die Kardinalzahl zu veràndern, ja ohne die Anzahl zu veràndern, werde jede Zifferndarstellung nach der Diagonalziffer abgeschnitten und durch Nullen ersetzt: a_n1, a_n2, a_n3, ..., a_nn, 000... Somit ist gezeigt, dass die Aufzàhlung nicht einmal allen Rationalzahlen Platz bietet.

Könnte man die fehlenden Rationalzahlen wie 1/9 nicht nachtràglich einführen? Selbstverstàndlich. Aber anschließend bitte die oben genannte Prozedur wiederholen. (Nur Cranks glauben, die Diqagonalzahl nachtràglich einführen zu dürfen, ohne die Doiagonalisierung zu wiederholen.) Ergebnis: Nicht einmal allen Brüchen bietet die unendliche Aufzàhlung Platz.

3) Übrigens ist es unmöglich, eine reelle Zahl allein durch Ziffern zu definieren. Selbst für eine endliche Zifferndarstellung wird die Information benötigt, dass irgendwann Schluss ist. Diese Information wird gewöhnlich durch ein Spatium vermittelt. Unendliche Zifferndarstellungen bieten dem Glàubigen zwar unendlich viele Ziffern, doch gehört jede als Endziffer zu einer rationalen Approximation. Irrationale Zahlen wie e könnten deswegen nicht einmal durch aleph_0 Ziffern definiert werden.

Keine der aleph_0 rationalen Zahlen (1 + 1/n)^n liefert e.
Keine der aleph_0 rationalen Partialsummen in SUM 1/n! liefert e.
Keine der aleph_0 rationalen Partialsummen 2; 2,7; 2,71; 2,718; ... liefert e.

Die unendliche Ziffernfolge 2,718... enthàlt alle rationalen Partialsummen, aber nichts Irrationales.

Manche Folgen mögen zwar einen irrationalen Grenzwert besitzen, aber der geht nicht in die Diagonalisierung ein, sondern allein die überall rationale Ziffernfolge. Ein Grenzwert muss im übrigen gar nicht definiert sein, wie z.B. in Cantors Originalversion von 1891.

Wer immer noch an Überabzàhlbarkeit glaubt, hat keines dieser Argumente verstanden.

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
07/11/2015 - 16:08 | Warnen spam
Am 06.11.2015 um 17:10 schrieb WM:



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Die unendliche Ziffernfolge 2,718... enthàlt alle rationalen Partialsummen, aber nichts Irrationales.


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Gibt es die denn, die "unendliche Ziffernfolge 2,718..."?
Und, falls, was heißt "gibt"?
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Gruß, WM



Gruß: Rudolf

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