Zum Mythos der aktualen Unendlichkeit

28/07/2009 - 02:01 von Albrecht | Report spam
Zum Mythos der aktualen Unendlichkeit

Der Glaube an das aktual Unendliche lebt von dem Mythos, dass man
zwischen dem Wachstum der Größe der natürlichen Zahlen und dem Wachstum
der Anzahl unterscheiden könnte.
Tatsàchlich ist aber Anzahl und Zahl eines. Stellt man die Folge der
natürlichen Zahlen als Folge von Strichlisten dar, z.B.

I
II
III

so làsst sich aus dieser Darstellung heraus nicht entscheiden, in welche
Richtung diese Folge wàchst. Die Folge kann vergrößert werden indem man
unten eine neue Zeile mit 4 Strichen anfügt, aber genauso indem man
links eine neue Spalte mit vier Strichen anfügt. Es làsst sich sogar
eine Folge von Strichlisten konstruieren, die die natürlichen Zahlen
repràsentieren, für die nicht angegeben werden kann in welche Richtung
die Zahlengröße, und in welche Richtung die Kardinalitàt wàchst.

Vorschrift:
1) Notiere ein I in der ersten Spalte in der ersten Zeile.
2) Füge eine Zeile unten an und kopiere in dieser Zeile die
vorhergehenden Zeile und füge rechts einen Strich an
3) Füge oben eine Zeile an und füge rechts eine Spalte an und kopiere in
der Spalte die rechts davon liegende Spalte und füge in der obersten
Zeile einen Strich an
4) Gehe zu 2)

Auch mit der Indizierung làsst sich dieses Spiel treiben. Üblicherweise
würde man die Strichliste so indizieren:

1
1 2
1 2 3

Genauso legitim ist aber auch diese Indizierung

1
2 1
3 2 1

Dreht man nun diese Darstellung um 90° gegen den Uhrzeigersinn, so
erhàlt man

1
1 2
1 2 3

Es ist nun völlig egal für das Ergebnis, ob man die nàchste Indizierung
unten oder rechts anfügt:

1
1 2
1 2 3
1 2 3 4

Das Ergebnis ist in beiden Fàllen identisch.

Dies alles zeigt, dass zwischen dem Zahlenwert und der Anzahl der
natürlichen Zahlen nicht unterschieden werden kann.

Da es keine größte natürliche Zahl geben kann, kann es auch keine Anzahl
der natürlichen Zahlen geben. Damit kann man der Klasse der natürlichen
Zahlen auch keine Kardinalzahl zuweisen. Da eine Menge eine Kardinalzahl
besitzen muss, gibt es keine Menge der natürlichen Zahlen.

So wie die Größe der natürlichen Zahlen unbeschrànkt ist, ist auch die
Anzahl der natürlichen Zahlen unbeschrànkt. Diese ist zwar unendlich,
aber nur im potentiellen Sinn.

Infinitum actu non datur.

Gruß
Albrecht
 

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#1 Rainer Willis
28/07/2009 - 02:37 | Warnen spam
Albrecht schrieb:

{...}

Da es keine größte natürliche Zahl geben kann, kann es auch keine Anzahl
der natürlichen Zahlen geben. Damit kann man der Klasse der natürlichen
Zahlen auch keine Kardinalzahl zuweisen. Da eine Menge eine Kardinalzahl
besitzen muss, gibt es keine Menge der natürlichen Zahlen.



"Also schloss er messerscharf ..."

So wie die Größe der natürlichen Zahlen unbeschrànkt ist, ist auch die
Anzahl der natürlichen Zahlen unbeschrànkt. Diese ist zwar unendlich,
aber nur im potentiellen Sinn.

Infinitum actu non datur.



Ratio tibi non datur.

Gruß Rainer

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