Zumkeller Zahlen

06/12/2009 - 01:23 von Peter | Report spam
Zumkeller-Zahlen sind die in OEIS A083207 definierten Zahlen.

"Numbers with subsets of their sets of divisors having
equal sums as their complements."

6, 12, 20, 24, 28, 30, 40, 42, ...

6 <- 1+2+3=6
12 <- 1+3+4+6=2+12
20 <- 2+4+5+10=1+20
24 <- 1+2+3+4+8+12=6+24
28 <- 1+2+4+7+14(
30 <- 1+2+3+5+10+15=6+30
40 <- 1+2+4+8+10+20=5+40
42 <- 1+2+3+7+14+21=6+42

Ich versuche gerade einen möglichst effizienten Algorithmus zur
Berechnung der Zumkeller Zahlen finden.

Und bei dieser Gelegenheit einen Thread aus der Steinzeit von
sci.math gefunden, der zeigt, was Mathe-Newsgroups
einst geleistet haben, als die Protagonisten noch konstruktiv
miteinander umgegangen sind. Dieser Thread liefert die Stichworte
für das Umfeld unseres Problems, und das ist faszinierend.
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/odd-one.html

Wer hilft? Eine erste numerische Bestàtigung wàre die Affirmation
von: Sind die folgenden Zahlen genau die Zumkeller Zahlen < 4033?

6, 12, 20, 24, 28, 30, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 78, 80, 84,
88, 90, 96, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 150,
156, 160, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 198, 204, 208, 210, 216,
220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272,
276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 330, 336,
340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364, 366, 368, 372, 378, 380,
384, 390, 396, 402, 408, 414, 416, 420, 426, 432, 438, 440, 444,
448, 456, 460, 462, 464, 468, 474, 476, 480, 486, 490, 492, 496,
498, 500, 504, 510, 516, 520, 522, 528, 532, 534, 540, 544, 546,
550, 552, 558, 560, 564, 570, 572, 580, 582, 588, 594, 600, 606,
608, 612, 616, 618, 620, 624, 630, 636, 640, 642, 644, 650, 654,
660, 666, 672, 678, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 708, 714,
720, 726, 728, 732, 736, 738, 740, 744, 748, 750, 756, 760, 762,
768, 770, 774, 780, 786, 792, 798, 804, 810, 812, 816, 820, 822,
828, 832, 834, 836, 840, 846, 852, 858, 860, 864, 868, 870, 876,
880, 888, 894, 896, 906, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936,
940, 942, 945, 948, 952, 954, 960, 966, 972, 978, 980, 984, 990,
992, 996, 1000, 1002, 1008, 1014, 1020, 1026, 1032, 1036, 1038,
1040, 1044, 1050, 1056, 1060, 1062, 1064, 1068, 1074, 1080, 1086,
1088, 1092, 1098, 1100, 1104, 1110, 1116, 1120, 1122, 1128, 1134,
1140, 1144, 1146, 1148, 1158, 1160, 1164, 1170, 1176, 1180, 1182,
1184, 1188, 1190, 1194, 1200, 1204, 1206, 1212, 1216, 1218, 1220,
1224, 1230, 1232, 1236, 1240, 1242, 1248, 1254, 1260, 1266, 1272,
1278, 1280, 1284, 1288, 1290, 1300, 1302, 1308, 1312, 1314, 1316,
1320, 1326, 1330, 1332, 1338, 1340, 1344, 1350, 1356, 1360, 1362,
1368, 1372, 1374, 1376, 1380, 1386, 1392, 1398, 1400, 1404, 1408,
1410, 1416, 1420, 1422, 1428, 1430, 1434, 1440, 1446, 1452, 1456,
1460, 1464, 1470, 1472, 1476, 1480, 1482, 1484, 1488, 1494, 1496,
1500, 1504, 1506, 1512, 1518, 1520, 1524, 1530, 1536, 1540, 1542,
1548, 1554, 1560, 1566, 1572, 1575, 1578, 1580, 1584, 1590, 1596,
1602, 1608, 1610, 1614, 1620, 1624, 1626, 1632, 1638, 1640, 1644,
1650, 1652, 1656, 1660, 1662, 1664, 1668, 1672, 1674, 1680, 1686,
1692, 1696, 1698, 1700, 1704, 1708, 1710, 1716, 1720, 1722, 1728,
1734, 1736, 1740, 1746, 1750, 1752, 1758, 1760, 1768, 1770, 1776,
1780, 1782, 1788, 1792, 1794, 1806, 1812, 1818, 1820, 1824, 1830,
1836, 1840, 1842, 1848, 1854, 1856, 1860, 1866, 1870, 1872, 1876,
1878, 1880, 1884, 1888, 1890, 1896, 1900, 1902, 1904, 1908, 1914,
1920, 1926, 1932, 1938, 1940, 1944, 1950, 1952, 1956, 1960, 1962,
1968, 1974, 1976, 1980, 1984, 1986, 1988, 1992, 1998, 2000, 2002,
2004, 2010, 2016, 2020, 2022, 2024, 2028, 2030, 2034, 2040, 2044,
2046, 2052, 2058, 2060, 2064, 2070, 2072, 2076, 2080, 2082, 2088,
2090, 2094, 2100, 2106, 2112, 2118, 2120, 2124, 2128, 2130, 2136,
2140, 2142, 2148, 2154, 2156, 2160, 2166, 2170, 2172, 2176, 2180,
2184, 2190, 2196, 2200, 2202, 2205, 2208, 2210, 2212, 2214, 2220,
2226, 2232, 2238, 2240, 2244, 2250, 2256, 2260, 2262, 2268, 2274,
2280, 2286, 2288, 2292, 2296, 2298, 2300, 2310, 2316, 2320, 2322,
2324, 2328, 2334, 2340, 2346, 2352, 2358, 2360, 2364, 2368, 2370,
2376, 2380, 2382, 2388, 2392, 2394, 2400, 2406, 2408, 2412, 2418,
2420, 2424, 2430, 2432, 2436, 2440, 2442, 2448, 2454, 2460, 2464,
2466, 2470, 2472, 2478, 2480, 2484, 2490, 2492, 2496, 2502, 2508,
2514, 2520, 2526, 2530, 2532, 2538, 2540, 2544, 2548, 2550, 2552,
2556, 2560, 2562, 2568, 2574, 2576, 2580, 2584, 2586, 2590, 2598,
2600, 2604, 2610, 2616, 2620, 2622, 2624, 2628, 2632, 2634, 2640,
2646, 2652, 2658, 2660, 2664, 2670, 2676, 2680, 2682, 2688, 2694,
2700, 2706, 2712, 2716, 2718, 2720, 2724, 2728, 2730, 2736, 2740,
2742, 2744, 2748, 2750, 2752, 2754, 2760, 2766, 2772, 2778, 2780,
2784, 2790, 2796, 2800, 2802, 2808, 2814, 2816, 2820, 2826, 2828,
2832, 2835, 2838, 2840, 2844, 2850, 2856, 2860, 2862, 2868, 2870,
2874, 2880, 2884, 2886, 2892, 2898, 2900, 2904, 2910, 2912, 2920,
2922, 2928, 2934, 2940, 2944, 2946, 2952, 2958, 2960, 2964, 2968,
2970, 2976, 2980, 2982, 2988, 2990, 2992, 2994, 2996, 3000, 3006,
3008, 3010, 3012, 3016, 3018, 3020, 3024, 3030, 3036, 3040, 3048,
3052, 3054, 3060, 3066, 3072, 3078, 3080, 3084, 3090, 3096, 3100,
3102, 3108, 3114, 3120, 3126, 3128, 3132, 3138, 3140, 3144, 3150,
3156, 3160, 3162, 3164, 3168, 3174, 3180, 3186, 3190, 3192, 3198,
3204, 3210, 3216, 3220, 3222, 3224, 3228, 3230, 3234, 3240, 3246,
3248, 3250, 3252, 3256, 3258, 3260, 3264, 3270, 3276, 3280, 3282,
3288, 3290, 3294, 3300, 3304, 3306, 3312, 3318, 3320, 3324, 3328,
3330, 3332, 3336, 3340, 3342, 3344, 3348, 3354, 3360, 3366, 3372,
3378, 3380, 3384, 3388, 3390, 3392, 3396, 3400, 3402, 3408, 3410,
3414, 3416, 3420, 3426, 3430, 3432, 3438, 3440, 3444, 3450, 3456,
3460, 3462, 3465, 3468, 3472, 3474, 3480, 3486, 3492, 3496, 3498,
3500, 3504, 3510, 3516, 3520, 3522, 3534, 3536, 3540, 3546, 3552,
3556, 3558, 3560, 3564, 3570, 3576, 3580, 3582, 3584, 3588, 3594,
3606, 3608, 3612, 3618, 3620, 3624, 3630, 3636, 3640, 3642, 3648,
3654, 3660, 3666, 3668, 3672, 3678, 3680, 3684, 3690, 3696, 3700,
3702, 3708, 3710, 3712, 3714, 3720, 3724, 3726, 3732, 3738, 3740,
3744, 3750, 3752, 3756, 3760, 3762, 3768, 3770, 3774, 3776, 3780,
3784, 3786, 3792, 3798, 3800, 3804, 3808, 3810, 3816, 3820, 3822,
3828, 3834, 3836, 3840, 3846, 3848, 3850, 3852, 3858, 3860, 3864,
3870, 3876, 3880, 3882, 3888, 3892, 3894, 3900, 3904, 3906, 3912,
3918, 3920, 3924, 3930, 3936, 3940, 3942, 3944, 3948, 3952, 3954,
3960, 3966, 3968, 3972, 3976, 3978, 3980, 3984, 3990, 3996, 4000,
4002, 4004, 4008, 4014, 4020, 4026, 4030, 4032
 

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#1 Peter
06/12/2009 - 21:20 | Warnen spam
Def. Eine Zumkeller Zahl ist eine Zahl deren Teiler in zwei
Mengen mit gleicher Summe aufgeteilt werden können.

Zum Beispiel lassen sich die Teiler von 24 {1,2,3,4,6,8,12,24}
zerlegen in die Mengen {1,2,3,24} und {4,6,8,12}, die beide
die Summe 30 haben. Damit ist 24 eine Zumkeller Zahl.

Def. Eine Zahl n ist eine VZK zur Basis k genau dann wenn
k teilt sigma(n) und k*n <= sigma(n).

Im Fall k=2 besagt die zweite Bedingung, dass n nicht defizient
ist (gleichbedeutend, dass n vollkommen oder abundant ist).

Frage: Sind die VZKs zur Basis 2 die Zumkeller Zahlen?

A083207 =?= A023196 intersect A028983
= (A000396 union A005101) intersect A028983
= (A005835 union A006037) intersect A028983

Klar ist: Zumkeller Zahl => VZKs zur Basis 2
(a) 2n <= sigma(n) (A023196) (Fact 4 in [1])
(b) 2 teilt sigma(n), d.h. sigma(n) gerade (Fact 2 in [1])

Ich hoffe nach wie vor, dass jemand, sei's mit Maple, Mathematica,
Delphi, Java oder C eine Überprüfung meiner Liste vornimmt.

Übrigens, für n > 2 ist die Fakultàt n! eine Zumkeller Zahl.

[0] http://de.wikipedia.org/wiki/Teilersumme
[1] K.P.S. Bhaskara Rao, Yuejian Peng, On Zumkeller Numbers, 1 Dec
2009
http://arxiv1.library.cornell.edu/abs/0912.0052

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