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Zur Wurzel der Überabzählbarkeit

04/09/2007 - 23:14 von Albrecht | Report spam
Hallo liebe Mathephile,

den Intervallschachtelungssatz kann man benutzen um jede unendliche
Folge von Ziffern als eine reelle Zahl aus [0,1[ zu definieren deren
Gesamtheit die Gesamtheit der reellen Zahlen in [0,1[ ausmachen.
Sei 0. a_1 a_2 a_3 ... eine unendliche Dezimalzahl aus [0,1[ mit a_n
aus 0...9 und n aus N, so definiert z.B. die Intervallschachtelung

[0. a_1 , 0. 9]
[0. a_1 a_2 , 0. a_1 9]
[0. a_1 a_2 a_3 , 0. a_1 a_2 9]
...

genau diese reelle Zahl da nach dem Intervallschachtelungsatz der
Durchschnitt dieser Intervalle nicht leer ist sondern genau einen
Punkt enthàlt.

Als dieser Satz aufgestellt worden ist ging man gewiss von konkreten
irrationalen Zahlen wie sqrt(2) und pi aus und fasste mit diesem Satz
mathematisch exakt die "Erfahrung" zusammen, dass diese Zahlen als
Punkte auf der Zahlengerade anzusehen sind, also diese unendlichen
Folgen konvergieren müssen und damit eben genau einen Punkt
beschreiben.
Dabei dachte gewiss niemand an Folgen von Ziffern, die nur durch eine
unendliche Menge an Information eindeutig bestimmt wàren - wenn es
denn unendliche Information gàbe.

Auch Georg Cantor hatte sicher nicht solche "unangebbaren Zahlen" im
Sinn, als er sein Diagonalargument fand und damit bewies, dass es in
gewissem Sinne mehr reelle Zahlen gibt als natürliche Zahlen.
Mit der Zeit kristallisierte sich dann heraus, dass die reellen Zahlen
die verfügbar sind durchaus abzàhlbar sind, ja dass die ganze
überabzàhlbare Masse der reellen Zahlen eigentlich nur aus
unangebbaren Zahlen gebildet wird.
Spàtestens hier hàtte doch eigentlich die Frage gestellt werden müssen
ob bei der Definition der reellen Zahlen nicht zu sehr verallgemeinert
worden ist.

Wie ist denn die Diskrepanz, die zwischen unserer Erfahrung und dem
heutigen mathematischen Konzept der reellen Zahlen besteht,
begreifbar? Wir machen doch offensichtlich die Erfahrung, dass man bei
einer Bewegung jeden Punkt des Raumes zwischen Anfang und Ende der
Bewegung durchlàuft, dass wir alle Zeitpunkt zwischen zwei Zeitpunkten
durchleben. Die Mathematik sagt uns nun, dass effektiv hundert Prozent
aller dieser Punkte unerreichbar sind im konstruktiven Sinne - und
damit in jedem tatsàchlichen und praktischen Sinne.
(Man könnte auf diesem Sachverhalt direkt ein neues Zenonsches
Paradoxon aufbauen. Es müssen nun nicht mehr nur einfach unendlich
viele Punkte überwunden werden, vielmehr müssen überabzàhlbar viele
nichtkonstruierbare Punkte _übersprungen_ werden um überhaupt um ein
Infinitesimal vom Ausgangspunkt fortzukommen.)

Gibt es keinen Ausweg aus diesem Dilemma? Ich bin nach wie vor der
Meinung, dass Mathematik so nah wie möglich an unserer Erfahrung der
Welt angelegt sein sollte wobei immer noch ein unendliches
Gestaltungsfeld, eine unendliche Freiheit der Mathematik bestehen
bleibt.
Gibt es kein Konzept der reellen Zahlen die diese, in meinem Sinne
durchaus notwendige, geistige Schöpfung wohlbegründet ohne damit
abwegige Konsequenzen wie überabzàhlbare Zahlen zu generieren?

Schönen Gruß
Albrecht Storz
 

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#1 papahuhn
04/09/2007 - 23:33 | Warnen spam
Albrecht schrieb:

(Man könnte auf diesem Sachverhalt direkt ein neues Zenonsches
Paradoxon aufbauen. Es müssen nun nicht mehr nur einfach unendlich
viele Punkte überwunden werden, vielmehr müssen überabzàhlbar viele
nichtkonstruierbare Punkte _übersprungen_ werden um überhaupt um ein
Infinitesimal vom Ausgangspunkt fortzukommen.)

Gibt es keinen Ausweg aus diesem Dilemma?



Vielleicht ist ja die Heisenbergsche Unschàrferelation genau die Antwort
der Natur auf diese Frage.

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