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Zusammenarbeit gesucht: Umkehrfunktionen und allgemeine Lösungsmethoden für Gleichungen in endlichen Ausdrücken

28/07/2016 - 16:32 von IV | Report spam
Zusammenarbeit gesucht: Umkehrfunktionen und allgemeine Lösungsmethoden für
Gleichungen in endlichen Ausdrücken

Umkehrfunktionen in endlichen Ausdrücken und allgemeine Lösungsmethoden für
Gleichungen in endlichen Ausdrücken

Hallo,

ich suche einen Mathematiker für die Zusammenarbeit an folgender
Aufgabenstellung: Pràzisierung und Verallgemeinerung des folgenden Satzes
aus [Ritt 1925] bzw. [Ritt 1948] sowie die Veröffentlichung in Deutsch, und
in einer mathematischen Fachzeitschrift in Englisch.

Begriffserklàrungen siehe unten.

Sei F eine Funktion.
"If F(z) and its inverse are both elementary, there exist n functions
phi[1](z), phi[2](z), ..., phi[n](z), where each phi(z) with an odd index is
algebraic, and each phi(z) with an even index is either e^z or log z, such
that F(z)=phi[n] phi[n-1] ... phi[2] phi[1](z) each phi[i](z) (i<n) being
substituted for z in phi[i+1](z)." [Ritt 1925]

Meine These ist, daß der Satz sagt, daß die algebraischen
Komponentenfunktionen einstellig sein müssen.

[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/19...-1501299-9
[Ritt 1948] Ritt, J. F.: Integration in finite terms. Liouville's Theory of
Elementary Methods.Columbia University Press, New York, 1948, Seite 57
[Chow 1999] What is a Closed-Form Number? Amer. Math. Monthly 106 (1999) (5)
440-448 http://www-math.mit.edu/~tchow/closedform.pdf

Die Pràzisierung könnte in etwa so aussehen (noch nicht mathematisch korrekt
ausformuliert):

Eine elementare Funktion F einer Variablen hat genau dann eine elementare
Umkehrfunktion, wenn F als endliche Verkettung von algebraischen
einstelligen Funktionen, exp und/oder ln dargestellt werden kann.

Dabei kann der Fakt herangezogen werden, daß die Identitàt eine algebraische
Funktion ist.

Folgende Verallgemeinerungen sind möglich:
von elementaren Funktionen einer Variablen auf
a) in endlichen Termen darstellbare Funktionen einer Variablen,
b) Nullstellengleichungen elementarer Funktionen einer Variablen,
c) Nullstellengleichungen in endlichen Termen darstellbarer Funktionen einer
Variablen,
d) (explizite?) Gleichungen elementarer Funktionen einer Variablen,
e) (explizite?) Gleichungen in endlichen Termen darstellbarer Funktionen
einer Variablen = (explizite?) Gleichungen in endlichen Termen = durch
geschlossene Ausdrücke darstellbare (explizite?) Gleichungen.

Begriffserklàrungen (noch nicht mathematisch korrekt ausformuliert)

elementare Funktion: „The elementary functions are understood here to be
those which are obtained in a finite number of steps by performing algebraic
operations and taking exponentials and logarithms.“ [Ritt 1925]
Es sind also Verkettungen von algebraischen Funktionen, exp und/oder ln,
wobei die algebraischen Funktionen ein- oder mehrstellig sein können.

mathematischer Term: Ein mathematischer Term ist ein sinnvoller Ausdruck,
der lediglich Symbole mathematischer Operationen, die auf Konstanten oder
Variablen wirken, und Klammern enthàlt. Funktionen sind Operationen. Die
Identitàt ist eine Funktion. (siehe Wikipedia: Term)

mathematischer Ausdruck: Ein mathematischer Ausdruck ist ein mathematischer
Term, der ein Gleichheitszeichen enthalten kann. (siehe Wikipedia: Ausdruck
(Mathematik))

endlicher Term: Ein endlicher Term (= geschlossener Term) ist ein
mathematischer Term, der endlich viele Symbole und kein Unendlich-Zeichen
enthàlt.

geschlossener Ausdruck: Ein geschlossener Ausdruck (= geschlossener
Ausdruck) ist ein endlicher Term, der ein Gleichheitszeichen enthalten kann.
(siehe Wikipedia en: closed-form expression)

Spezielle Funktion: Eine Spezielle Funktion ist eine Funktion, die durch ein
Symbol benannt ist. (siehe Wikipedia: Spezielle Funktion; Wikipedia en:
Special Functions)
 

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#1 Carlo XYZ
28/07/2016 - 20:11 | Warnen spam
"IV" wrote:

ich suche einen Mathematiker für die Zusammenarbeit an folgender
Aufgabenstellung: Pràzisierung und Verallgemeinerung des folgenden Satzes
aus [Ritt 1925] bzw. [Ritt 1948] sowie die Veröffentlichung in Deutsch, und
in einer mathematischen Fachzeitschrift in Englisch.



Was bietest du?

Sei F eine Funktion.
"If F(z) and its inverse are both elementary, there exist n functions
phi[1](z), phi[2](z), ..., phi[n](z), where each phi(z) with an odd index is
algebraic, and each phi(z) with an even index is either e^z or log z, such
that F(z)=phi[n] phi[n-1] ... phi[2] phi[1](z) each phi[i](z) (i<n) being
substituted for z in phi[i+1](z)." [Ritt 1925]

Meine These ist, daß der Satz sagt, daß die algebraischen
Komponentenfunktionen einstellig sein müssen.



sein müssen -> sind.
Das sieht man auf den ersten Blick, dazu braucht man keine These.

[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/19...-1501299-9
[Ritt 1948] Ritt, J. F.: Integration in finite terms. Liouville's Theory of
Elementary Methods.Columbia University Press, New York, 1948, Seite 57
[Chow 1999] What is a Closed-Form Number? Amer. Math. Monthly 106 (1999) (5)
440-448 http://www-math.mit.edu/~tchow/closedform.pdf

Die Pràzisierung könnte in etwa so aussehen (noch nicht mathematisch korrekt
ausformuliert):



Ich weiß nicht, was an Ritts Satz noch pràzisiert werden sollte
(außer dass man noch einmal sehen sollte, was er mit "its inverse",
"elementary" und "algebraic" genau meint).

Eine elementare Funktion F einer Variablen hat genau dann eine elementare
Umkehrfunktion, wenn F als endliche Verkettung von algebraischen
einstelligen Funktionen, exp und/oder ln dargestellt werden kann.



Das ist keine Pràzisierung, sondern eine versuchte Verstàrkung.
Der zusàtzliche Teil: "Wenn F elementar ist und die Konklusion
von Ritts Satz gilt, dann ist auch F-invers elementar".
Keine Ahnung, ob das korrekt/trivial ist.
Crauel/Müller/Vaeth fragen? Dis kennen sich darin gut aus.

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