Zusammengesetzte Sinusfunktion anders darstellen

02/09/2014 - 14:37 von Udo | Report spam
Hallo,
ich betrachte die zusammengesetzte Funktion
f(x) = sin(x) + sin(x-Pi/3)
(zwei um 120 Grad verschobene Sinuskurven - vgl. Drehstrom).

Nun möchte ich diese zusammengesetzte Funktion darstellen als
g(x) = a * sin(b*x + c)

und die Parameter a, b und c rechnerisch(!) so bestimmen, dass die
Kurven von f(x) und g(x) übereinstimmen. Man braucht also 3
Bestimmungsgleichungen für die Formvariablen a, b und c.

Ich habe zunàchst
(1)
einen Schnittpunkt berechnet: sin(x) = sin(x-pi/3)
An dieser Stelle x1 liegt ein Maximum von f(x) bzw. g(x).
Mit dem x1-Wert dieses Punktes errechne ich y1= f(x1), womit ich
den Punkt des Maximums der zusammengesetzten Funktion
bestimmt habe: P = (x1,y1)

(2)
diesen Punkt in g(x) eingesetzt, liefert mir die erste
Bestimmungsgleichung:

y1 = a * sin(b*x1 + c) bzw. in realen Zahlen:
1.73 = a * sin(b*2.09 + c)

Da an dieser Stelle ein Maximum vorliegt muss sin(b*2.09 + c) gerade
den Wert 1 ergeben, womit sich der
Streckungsfaktor a = 1.73 ergibt.

(3)
Nun wollte ich zwei Nullstellen von f(x) in g(x) einsetzen und so zwei weitere
Bestimmungsgleichung für b und c erhalten.

Die ersten beiden sind
N01=(0.52, 0) und
N01=(3.67, 0)

und damit die Bestimmungsgleichungen
0 = 1.73 * sin(0.52*b +c)
0 = 1.73 * sin(3.67*b +c)

Und hier komme ich nicht weiter.
die erste Gleichung wird 0, wenn gilt: 0.52*b + c = n*Pi
die zweite Gleichung wird 0, wenn gilt: 3.67*b + c = n*Pi

dies führt aber zu b=0, was nicht stimmen kann.

Wie komme ich jetzt auf b und c?
Meine Rechnung geht irgendwie nicht auf.

Mit Geogebra "von Hand" (Schieberegler) eingestellt ergibt sich die
Gleichung

g(x) = 1.73 * sin (x - 0.5)

Wo liegt der Fehler?
Wàre für Hilfe dankbar.

Viele Grüße
Udo
 

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#1 Norbert Dragon
02/09/2014 - 16:56 | Warnen spam
* Udo betrachtet die zusammengesetzte Funktion
f(x) = sin(x) + sin(x-Pi/3)

(zwei um 120 Grad verschobene Sinuskurven - vgl. Drehstrom)



120 Grad sind 2*Pi/3.

setze x = y + Pi/6

f(y+Pi/6) = sin(y+Pi/6) + sin(y-Pi/6)

und verwende

sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) für a = y und b = Pi/6

sowie sin(-b) = - sin(b) und cos(-b) = cos(b)

Dann folgt

f(y+Pi/6) = 2 sin(y) cos(Pi/6) = Wurzel(3) sin(y)

f(x) = Wurzel(3) sin(x - Pi/6)

Ebenso folgt für F(x) = sin(x) + sin(x - (2/3)Pi)
= sin(x - Pi/3)

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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