Zwei Aufgaben zum homogenen elektrischen Feld

04/04/2009 - 18:56 von Markus Michael Rau | Report spam
Hallo.

Im Zuge meiner Abiturvorbereitungen habe unter anderem ich zwei Aufgaben
gerechnet, zu denen ich einige Fragen habe. Es wàre toll, wenn mir
jemand helfen könnte; vielen Dank im Vorraus.


-
Hier habe ich die numerischen Lösungen, erhalte aber ein anderes
Ergebnis. Was habe ich falsch gemacht?


Aufgabenstellung (Zitat): Ein mit 10^(-8)C geladenes Kügelchen der Masse
2g hànge an einem 50 cm langen Faden ohne kontakt vor der rechten Platte
eines zunàchst ungeladenen Plattenkondensators mit vertikal stehen
Platten und Plattenabstand 6cm. Es werde nun abrupt eine konstante
Spannung an die Platten angelegt, die so groß ist, dass das Kügelchen
die linke Platte gerade so nicht erreicht. (Der Radius des Kügelchens,
die Masse des Fadens und Influenzeffekte werden vernachlàssigt.)

a) Wie groß ist diese Spannung?

b) Lange nach diesem Einschalten kommt das Kügelchen aufgrund von
Luftreibung wider zur Ruhe. Um welchen Winkel ist es nun ausgelenkt?

Skizze:

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| O |

Das heißt das Kügelchen ist der rechten Platte sehr nah.

Numerische Lösung im Buch:
\alpha (max)=6.89° h=3,6 mm U (dyn)p88.8V
\apha (stat)=arctan((qU)/(dmg))=3.45°



Meine Lösung zu a):

geg: Q(10^(-8)C), m(2*10^(-3) kg), l (0,5m), d(6*10^(-2)m)

elementargeometrische Rechnung:

tan(\alpha)=(d/l)
\alpha=6,84° (ist wohl richtig, da Übereinstimmung)

Bei maximaler Auslenkung durchlàuf das Kügelchen die gesamte
Spannungsdifferenz zwischen den Kondensatorplatten. Im maximalen
Auslenkungspunkt kann man ein Kraftparalellogramm mit elektrischer Kraft
und Gewichtskraft Zeichnen und den obigen Winkel, bestimmbar durch d und
l eintragen.

Fel=tan(\alpha)*Fg

Fel=(d*Fg)/l =2,35*10^(-3)N
Fel=Q*E=Q*(U/d)

damit folgt für U=(Fel*d)/Q= 14121.58V

Das ist genau das Doppelte, was in der Lösung steht, ich hab mich schon
gefragt ob ich irgendwo ein 0,5 vergessen habe, aber bin zu keinem
Ergebnis gekommen.

Auch ein anderer Lösungsansatz führt auf mein Ergebnis:

W=Q*U <--> W=QEd
U=Ed und F=E*q
damit folgt:

U=(F*d)/Q
Das ist genau meine obige Formel.


Also nochmal meine Frage: Was habe ich Falsch gemacht?

Meine Lösung zu b):

Bei b hatte ich das Problem, das ich nicht genau wusste, was unter
"Luftreibung" zu verstehen ist. Ich fand (und finde) es etwas
befremdlich in diesem Fall von Luftreibung zu sprechen.

Das Kügelchen hàngt da völlig unschuldig mit maximaler Auslenkung in der
Gegend rum und auf einmal kommt ein Orkan und blàst das Kügelchen um? ;-)
Ich hab mir das dann so erklàrt, dass die Staubpartikel in der Luft
irgendwie Ladungen von unserem Kügelchen aufnehmen könnten und so das
Kügelchen langsam entladen. In der Lösung steht genau der halbe maximale
Auslenkwinkel, das heißt aber in der Anordnung, dass das Kügelchen immer
noch Ladung tragen muss, das heißt es kann so nicht sein. Desweiteren
ist mir kein Gesetz bekannt, mit dem ich dieses Phànomen beschreiben kann.

Meine Frage lautet also, wie ist die Fragestellung richtig zu verstehen
und wie kann man es mathematisch beschreiben; falls zur Beantwortung der
Frage notwendig.





Nàchste Augabe:
Aufgabenstellung:
Ein mit 10^(-8) geladenes Metallkügelchen der Masse 2g hànge an einem
50cm langen Faden in die Itte eines zunàchst ungeladenen
Plattenkondensators mit vertikal stehenden Platten und Plattenabstand
6cm. Die Spannung des Kondensators wird mit Hilfe eines Netzgeràtes sehr
langsam erhöht, bis das Kügelchen eine der Platten berührt. (Der Radius
des Kügelchens, die Masse des Fadens und Influenzeffekte werden
vernachlàssigt.)
a) Bei welcher Spannung findet diese Berührung statt?
b) Beschreibe (in 1-2 Sàtzen) die weitere Bewegung des Kügelchens unter
Vernachlàssigung von Reibungseffekten!

Meine Lösung zu a ist analog zu der der ersten Aufgabe, nur dass das
Kügelchen in der Mitte hàngt; damit ergibt sich ein anderer Winkel und
damit andere Folgegrößen. Sonst ist die Rechnung gleich.


Lösung zu b):
Über die Vorgabe 1-2 Sàtze hab ich mich hinweggesetzt, da ich es genauer
verstehen wollte.

Ich habe meine Betrachtungen zweigeteilt. Als erstes hab ich versucht zu
verstehen, was im einzelnen beim Auftreffen des Kügelchens auf die
Platte passiert (1). Danach die Rückbewegung, als Resultat des
Ladungsübergangs (2) und abschließend die weitere Bewegung (3).
Ich habe versucht alles allgemein zu beschreiben.

(1)
Berührt das Kügelchen die Platte, so kommt es aufgrund der
gegensàtzlichen Ladung zu einem Ladungsübergang; es fließt also ein
Stom. Die Frage für mich war jetzt wie viele Ladungen fließen.
Es können nur solange Ladungen fließen, wie das Kügelchen Kontakt zur
Metalloberflàche des Kondensators hat. Das Kügelchen hat aber nur
solange Kontakt zum Kondensator, wie die elektrische Kraft, die das
Kügelchen am Kondensator hàlt größer oder gleich der
Horizontalkomponente der Rückstellkraft ist, da beide Kràfte vektoriell
entgegengerichtet sind. Dazu hab ich die Rückstellkraft die ja
tangentiell auf der momentanen Auslenkungsrichtung des Pendels steht,
mit Hilfe eines Kràfteparalellogramms in eine Horizontalkomponente und
eine Vertikalkomponente zerlegt.

F(Rückstellkraft)= sin(\alpha)*Fg

Horizontalkomponente:
F(Rückhori)=cos(\alpha)*sin(\alpha)*Fg

Diese Kraft ist also der elektrischen Kraft entgegengerichtet.

Fel>F(rückhori) --> Kügelchen bleibt kleben
Fel=F(rückhori) --> Kügelchen bleibt kleben
Fel<F(rückhori) --> Rückbewegung

In dieser Situation ist F(rückhori)=const und ungleich Null, das heißt,
dass das Kügelchen nicht vollstàndig entladen wird, wenn es den Kontakt
zur Platte verliert. Das kommt daher, da nach obiger Betrachtung nur:
Fel<F(rückhori) sein muss, damit eine Rückbewegung stattfindet und in
folge derer dann das Kügelchen den Kontakt zur Platte verliert; womit
der Stromfluss unterbrochen wird. Da aber bei einem ausgelenkten Pendel
die Horizontalkomponente der Rückstellkraft nicht null sein kann, kann
auch Fel nicht null sein. Damit bleibt aber noch Ladung auf dem
Kügelchen übrig.


Das heißt, das teilgeladene Kügelchen bewegt sich zurück.

(2)
Mein nàchstes Problem ist, dass dieses Teilgeladene Kügelchen nun ein
elektrisches Feld durchpendelt. Damit wird die kinetische Energie des
Pendelvorgangs dadurch reduziert, da sie zum Transport des geladenen
Kügelchens durch das homogene elektrische Feld "verbraucht" wird.
Das einzige, was mich hier interessiert hat ist, nachzuweisen, das das
Pendel nicht mehr die andere Platte erreicht, sondern vorher umschwingt.

Dazu hab ich folgenden Ansatz gemacht:

Die Gesamtenergie des Pendels, sofern es die andere Platte erreichen
würde, müsste lauten:

Eges=Ekin-Eel //ich betrachte hier jetzt zwei voneinander getrennte Energien
<--> Eges= 0.5*m*(\kleinomega *s(max))^2-Q*E*d
<--> Eges= 0.5*m*(g/l)*(s(max)^2)- Q*E*d

Diese Energie wird in potentielle Energie umgewandelt, wenn das Pendel
steigt.

m*g*h=0.5*m*(g/l)*(s(max)^2)-Q*E*d

h ist aber bei angenommener maximaler Auslenkung gleich s(max).
Ich will ja nachweisen, dass die Gleichung NICHT gilt, damit ich dann
bewiesen habe, dass das Pendel die rechte Seite nicht mehr erreicht.

h=s(max)

m*g*s(max)=0.5*m*(g/l)*(s(max)^2)-Q*E*d / E=(U/d); s(max)=sin(\alpha)*l

[...] (Algebraorgie)

<--> 1=0.5*sin(\alpha)-cos(\alpha)*2*sin(\alpha) // Erweitern mit 2
<--> 2=sin(\alpha)-4cos(\alpha)*sin(\alpha)

Ich habe mir die rechte Seite als Funktion plotten lassen und als y-Wert
zwei abgelesen um sie bequem lösen zu können.

Der zum y-Wert von 2 gehörende x-Wert dieser Funktion lag in [1,8; 2].
Da aber der kleineste Wert (1,8) immer noch 0.57*\pi ist und
Auslenkungen über 90° unsinnig sind, folgt daraus, dass obige Gleichung
für mein physikalisches Problem nicht lösbar ist und das in Folge dessen
das Kügelchen die rechte Platte nicht erreicht.

Das Kügelchen erreicht die rechte Platte nicht.

(3) Was das Kügelchen danach macht, habe ich so beantwortet, dass die
Gesamtenergie nicht mehr ausreicht um die linke Platte zu berühern.

Sie setzt sich aus folgenden Kompontenten zusammen:
Eges=Epot + Eel

Die potentielle Energie ist kleiner als im Ausgangszustand, da wie in
(2)dagelegt das Kügelchen nicht die rechte Platte berührt und damit auch
nicht die Ausgangshöhe erreicht. Die elektrische Energie berechnet sich
wie folgt:

Eel=Q*E*(\delta s)

Durch den Ladungsverlust am Anfang ist die Ladung kleiner als in der
Ausgangssituation. E ist im homogenen elektrischen Feld konstant.

Zu der durchflogenen Strecke s:
\delta s= d-(\delta x) // \delta x ist die Strecke die das Kügelchen bei
der Rückschwingung nicht mehr geschafft hat.

Eel=Q*U*(1-(\delta x/d))

Selbst wenn man davon ausgeht, dass das Kügelchen die rechte Seite
erreicht hàtte, was es natürlcih nicht getan hat folgt:
Eel=Q*U
U ist konstant und die jetzige Ladung ist kleiner als die ursprüngliche.

Das heißt, die Energie reicht nicht mehr um die linke Platte zu berühren.

in der weiteren Bewegung weiter gedàmpft bis es sich in einem
Auslenkwinkel x einfindet, der der Restladung des Kügelchens entspricht.




Meine Frage zu dieser Aufgabe ist jetzt, ob ich den Vorgang zutreffend
beschrieben habe, zumal ich dazu keine Lösung habe.

Vielen Dank im Vorraus; ich hoffe, ich habe ausreichend kommentiert und
nicht zu viele Fehler gemacht.

Liebe Grüsse,
Markus
 

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#1 Pink Pussy
04/04/2009 - 19:24 | Warnen spam
On 4 Apr., 17:56, Markus Michael Rau wrote:
Hallo.

Im Zuge meiner Abiturvorbereitungen habe unter anderem ich zwei Aufgaben
gerechnet, zu denen ich einige Fragen habe. Es wàre toll, wenn mir
jemand helfen könnte; vielen Dank im Vorraus.

-
Hier habe ich die numerischen Lösungen, erhalte aber ein anderes
Ergebnis. Was habe ich falsch gemacht?

Aufgabenstellung (Zitat): Ein mit 10^(-8)C geladenes Kügelchen der Masse
2g hànge an einem 50 cm langen Faden ohne kontakt vor der rechten Platte
eines zunàchst ungeladenen Plattenkondensators mit vertikal stehen
Platten und Plattenabstand 6cm. Es werde nun abrupt eine konstante
Spannung an die Platten angelegt, die so groß ist, dass das Kügelchen
die linke Platte gerade so nicht erreicht. (Der Radius des Kügelchens,
die Masse des Fadens und Influenzeffekte werden vernachlàssigt.)

a) Wie groß ist diese Spannung?

b) Lange nach diesem Einschalten kommt das Kügelchen aufgrund von
Luftreibung wider zur Ruhe. Um welchen Winkel ist es nun ausgelenkt?

Skizze:

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Das heißt das Kügelchen ist der rechten Platte sehr nah.

Numerische Lösung im Buch:
\alpha (max)=6.89° h=3,6 mm U (dyn)p88.8V
\apha (stat)=arctan((qU)/(dmg))=3.45°


Meine Lösung zu a):

geg: Q(10^(-8)C), m(2*10^(-3) kg), l (0,5m), d(6*10^(-2)m)

elementargeometrische Rechnung:

tan(\alpha)=(d/l)
\alpha=6,84° (ist wohl richtig, da Übereinstimmung)

Bei maximaler Auslenkung durchlàuf das Kügelchen die gesamte
Spannungsdifferenz zwischen den Kondensatorplatten. Im maximalen
Auslenkungspunkt kann man ein Kraftparalellogramm mit elektrischer Kraft
und Gewichtskraft Zeichnen und den obigen Winkel, bestimmbar durch d und
l eintragen.

Fel=tan(\alpha)*Fg

Fel=(d*Fg)/l =2,35*10^(-3)N
Fel=Q*E=Q*(U/d)

damit folgt für U=(Fel*d)/Q= 14121.58V

Das ist genau das Doppelte, was in der Lösung steht, ich hab mich schon
gefragt ob ich irgendwo ein 0,5 vergessen habe, aber bin zu keinem
Ergebnis gekommen.

Auch ein anderer Lösungsansatz führt auf mein Ergebnis:

W=Q*U <--> W=QEd
U=Ed und F=E*q
damit folgt:

U=(F*d)/Q
Das ist genau meine obige Formel.

Also nochmal meine Frage: Was habe ich Falsch gemacht?

Meine Lösung zu b):

Bei b hatte ich das Problem, das ich nicht genau wusste, was unter
"Luftreibung" zu verstehen ist. Ich fand (und finde) es etwas
befremdlich in diesem Fall von Luftreibung zu sprechen.

Das Kügelchen hàngt da völlig unschuldig mit maximaler Auslenkung in der
Gegend rum und auf einmal kommt ein Orkan und blàst das Kügelchen um? ;-)
Ich hab mir das dann so erklàrt, dass die Staubpartikel in der Luft
irgendwie Ladungen von unserem Kügelchen aufnehmen könnten und so das
Kügelchen langsam entladen. In der Lösung steht genau der halbe maximale
Auslenkwinkel, das heißt aber in der Anordnung, dass das Kügelchen immer
noch Ladung tragen muss, das heißt es kann so nicht sein. Desweiteren
ist mir kein Gesetz bekannt, mit dem ich dieses Phànomen beschreiben kann.

Meine Frage lautet also, wie ist die Fragestellung richtig zu verstehen
und wie kann man es mathematisch beschreiben; falls zur Beantwortung der
Frage notwendig.




Nàchste Augabe:
Aufgabenstellung:
Ein mit 10^(-8) geladenes Metallkügelchen der Masse 2g hànge an einem
50cm langen Faden in die Itte eines zunàchst ungeladenen
Plattenkondensators mit vertikal stehenden Platten und Plattenabstand
6cm. Die Spannung des Kondensators wird mit Hilfe eines Netzgeràtes sehr
langsam erhöht, bis das Kügelchen eine der Platten berührt. (Der Radius
des Kügelchens, die Masse des Fadens und Influenzeffekte werden
vernachlàssigt.)
a) Bei welcher Spannung findet diese Berührung statt?
b) Beschreibe (in 1-2 Sàtzen) die weitere Bewegung des Kügelchens unter
Vernachlàssigung von Reibungseffekten!

Meine Lösung zu a ist analog zu der der ersten Aufgabe, nur dass das
Kügelchen in der Mitte hàngt; damit ergibt sich ein anderer Winkel und
damit andere Folgegrößen. Sonst ist die Rechnung gleich.

Lösung zu b):
Über die Vorgabe 1-2 Sàtze hab ich mich hinweggesetzt, da ich es genauer
verstehen wollte.

Ich habe meine Betrachtungen zweigeteilt. Als erstes hab ich versucht zu
verstehen, was im einzelnen beim Auftreffen des Kügelchens auf die
Platte passiert (1). Danach die Rückbewegung, als Resultat des
Ladungsübergangs (2) und abschließend die weitere Bewegung (3).
Ich habe versucht alles allgemein zu beschreiben.

(1)
Berührt das Kügelchen die Platte, so kommt es aufgrund der
gegensàtzlichen Ladung zu einem Ladungsübergang; es fließt also ein
Stom. Die Frage für mich war jetzt wie viele Ladungen fließen.
Es können nur solange Ladungen fließen, wie das Kügelchen Kontakt zur
Metalloberflàche des Kondensators hat. Das Kügelchen hat aber nur
solange Kontakt zum Kondensator, wie die elektrische Kraft, die das
Kügelchen am Kondensator hàlt größer oder gleich der
Horizontalkomponente der Rückstellkraft ist, da beide Kràfte vektoriell
entgegengerichtet sind. Dazu hab ich die Rückstellkraft die ja
tangentiell auf der momentanen Auslenkungsrichtung des Pendels steht,
mit Hilfe eines Kràfteparalellogramms in eine Horizontalkomponente und
eine Vertikalkomponente zerlegt.

F(Rückstellkraft)= sin(\alpha)*Fg

Horizontalkomponente:
F(Rückhori)=cos(\alpha)*sin(\alpha)*Fg

Diese Kraft ist also der elektrischen Kraft entgegengerichtet.

Fel>F(rückhori) --> Kügelchen bleibt kleben
Fel=F(rückhori) --> Kügelchen bleibt kleben
Fel<F(rückhori) --> Rückbewegung

In dieser Situation ist F(rückhori)=const und ungleich Null, das heißt,
dass das Kügelchen nicht vollstàndig entladen wird, wenn es den Kontakt
zur Platte verliert. Das kommt daher, da nach obiger Betrachtung nur:
Fel<F(rückhori) sein muss, damit eine Rückbewegung stattfindet und in
folge derer dann das Kügelchen den Kontakt zur Platte verliert; womit
der Stromfluss unterbrochen wird. Da aber bei einem ausgelenkten Pendel
die Horizontalkomponente der Rückstellkraft nicht null sein kann, kann
auch Fel nicht null sein. Damit bleibt aber noch Ladung auf dem
Kügelchen übrig.

Das heißt, das teilgeladene Kügelchen bewegt sich zurück.

(2)
Mein nàchstes Problem ist, dass dieses Teilgeladene Kügelchen nun ein
elektrisches Feld durchpendelt. Damit wird die kinetische Energie des
Pendelvorgangs dadurch reduziert, da sie zum Transport des geladenen
Kügelchens durch das homogene elektrische Feld "verbraucht" wird.
Das einzige, was mich hier interessiert hat ist, nachzuweisen, das das
Pendel nicht mehr die andere Platte erreicht, sondern vorher umschwingt.

Dazu hab ich folgenden Ansatz gemacht:

Die Gesamtenergie des Pendels, sofern es die andere Platte erreichen
würde, müsste lauten:

Eges=Ekin-Eel //ich betrachte hier jetzt zwei voneinander getrennte Energien
<--> Eges= 0.5*m*(\kleinomega *s(max))^2-Q*E*d
<--> Eges= 0.5*m*(g/l)*(s(max)^2)- Q*E*d

Diese Energie wird in potentielle Energie umgewandelt, wenn das Pendel
steigt.

m*g*h=0.5*m*(g/l)*(s(max)^2)-Q*E*d

h ist aber bei angenommener maximaler Auslenkung gleich s(max).
Ich will ja nachweisen, dass die Gleichung NICHT gilt, damit ich dann
bewiesen habe, dass das Pendel die rechte Seite nicht mehr erreicht.

h=s(max)

m*g*s(max)=0.5*m*(g/l)*(s(max)^2)-Q*E*d / E=(U/d); s(max)=sin(\alpha)*l

[...] (Algebraorgie)

<--> 1=0.5*sin(\alpha)-cos(\alpha)*2*sin(\alpha) // Erweitern mit 2
<--> 2=sin(\alpha)-4cos(\alpha)*sin(\alpha)

Ich habe mir die rechte Seite als Funktion plotten lassen und als y-Wert
zwei abgelesen um sie bequem lösen zu können.

Der zum y-Wert von 2 gehörende x-Wert dieser Funktion lag in [1,8; 2].
Da aber der kleineste Wert (1,8) immer noch 0.57*\pi ist und
Auslenkungen über 90° unsinnig sind, folgt daraus, dass obige Gleichung
für mein physikalisches Problem nicht lösbar ist und das in Folge dessen
das Kügelchen die rechte Platte nicht erreicht.

Das Kügelchen erreicht die rechte Platte nicht.

(3) Was das Kügelchen danach macht, habe ich so beantwortet, dass die
Gesamtenergie nicht mehr ausreicht um die linke Platte zu berühern.

Sie setzt sich aus folgenden Kompontenten zusammen:
Eges=Epot + Eel

Die potentielle Energie ist kleiner als im Ausgangszustand, da wie in
(2)dagelegt das Kügelchen nicht die rechte Platte berührt und damit auch
nicht die Ausgangshöhe erreicht. Die elektrische Energie berechnet sich
wie folgt:

Eel=Q*E*(\delta s)

Durch den Ladungsverlust am Anfang ist die Ladung kleiner als in der
Ausgangssituation. E ist im homogenen elektrischen Feld konstant.

Zu der durchflogenen Strecke s:
\delta s= d-(\delta x) // \delta x ist die Strecke die das Kügelchen bei
der Rückschwingung nicht mehr geschafft hat.

Eel=Q*U*(1-(\delta x/d))

Selbst wenn man davon ausgeht, dass das Kügelchen die rechte Seite
erreicht hàtte, was es natürlcih nicht getan hat folgt:
Eel=Q*U
U ist konstant und die jetzige Ladung ist kleiner als die ursprüngliche.

Das heißt, die Energie reicht nicht mehr um die linke Platte zu berühren.

in der weiteren Bewegung weiter gedàmpft bis es sich in einem
Auslenkwinkel x einfindet, der der Restladung des Kügelchens entspricht.



Meine Frage zu dieser Aufgabe ist jetzt, ob ich den Vorgang zutreffend
beschrieben habe, zumal ich dazu keine Lösung habe.

Vielen Dank im Vorraus; ich hoffe, ich habe ausreichend kommentiert und
nicht zu viele Fehler gemacht.

Liebe Grüsse,
Markus



Was soll das für eine Abivorbereitung sein ?

Du machst dich doch bloß selber fertig !


Ein el. Feld ist eine Kraft, ein Faden làßt nur einen Bruchteil davon
zu ( Winkel ! ) und mit der Schwerkraft sollte das alles im
Gleichgewicht sein - mußte ich alles in einer Extemporale in der
8.Klasse vorrechnen.

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