Zwei identische Erwartungswerte

10/05/2009 - 21:59 von fabelmaier | Report spam
Hallo!

Ich komme aus der Kommunikationstechnik arbeite gerade an einem
Problem, wobei mir ein kleines Puzzlestück fehlt, das unscheinbar ist,
es aber in sich hat. Ich wende mich daher an euch mit der Bitte um
sachdienliche Hinweise!

Es sei X eine symmetrische positiv definite Zufallsmatrix mit
bekanntem Verteilungsgesetz. Es seien A und B zwei konstante
symmetrische Matrizen dergestalt, daß X+A und X+B immer positiv
definit (also auch invertierbar) sind.

Ich möchte zeigen:

E[(X+A)^-1] = E[(X+B)^-1] => A = B.

Hmm... da steh ich nun!
Also, wenn A - B positiv definit (A>B) oder negativ definit (A<B) ist,
dann geht's aufgrund der Matrix-Monotonie der Abbildung A -> (X+A)^-1
ganz leicht. Dann gilt nàmlich:
(X+A)^-1 > (X+B)^-1 => E[(X+A)^-1] > E[(X+B)^-1]
oder:
(X+A)^-1 < (X+B)^-1 => E[(X+A)^-1] < E[(X+B)^-1]

Wirklich problematisch wird es wenn A - B *indefinit* ist! Was dann?

Danke!
 

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#1 Stephan Gerlach
11/05/2009 - 15:02 | Warnen spam
schrieb:

Es sei X eine symmetrische positiv definite Zufallsmatrix mit
bekanntem Verteilungsgesetz. Es seien A und B zwei konstante
symmetrische Matrizen dergestalt, daß X+A und X+B immer positiv
definit (also auch invertierbar) sind.

Ich möchte zeigen:

E[(X+A)^-1] = E[(X+B)^-1] => A = B.



Nur zum Verstàndnis[#]:
Du *setzt* also die Gleichheit der Erwartungswerte
E[(X+A)^-1] = E[(X+B)^-1]
*voraus*, und willst im Fall, daß diese Gleichheit gilt, A = B zeigen?!

Hmm... da steh ich nun!
Also, wenn A - B positiv definit (A>B) oder negativ definit (A<B) ist,
dann geht's aufgrund der Matrix-Monotonie der Abbildung A -> (X+A)^-1
ganz leicht. Dann gilt nàmlich:
(X+A)^-1 > (X+B)^-1 => E[(X+A)^-1] > E[(X+B)^-1]



Das ist der Fall A<B.
Damit hast du doch aber nur gezeigt, daß
E[(X+A)^-1] > E[(X+B)^-1]
gilt?!

oder:
(X+A)^-1 < (X+B)^-1 => E[(X+A)^-1] < E[(X+B)^-1]



Das ist der Fall A>B.
Damit hast du doch aber nur gezeigt, daß
E[(X+A)^-1] < E[(X+B)^-1]
gilt?!

Ich sehe gerade nicht, wie du in den jeweiligen beiden Fàllen denn nun
letztenendes A = B geschlußfolgert hast. Daher auch meine Frage [#] oben.

Wirklich problematisch wird es wenn A - B *indefinit* ist! Was dann?



Dann ist (vermute ich einfach mal) i.a. auch E[(X+A)^-1 - (X+B)^-1]
indefinit, so daß eine Ungleichung wie "E[(X+A)^-1] < E[(X+B)^-1]"
keinen Sinn ergibt.

Allerdings beantworten die Ungleichungen IMHO ohnehin nicht die
eigentliche Frage. Das könnte auch daran liegen, daß die vermutete
Behauptung falsch(!) ist; Gegenbeispiel:

Sei X eine Zufallsvariable mit nur zwei möglichen Werten 1 und 2 mit
zugehöriger Verteilung P folgendermaßen
X € {1;2}
P[X=1] := 1/4
P[X=2] := 3/4
Seien
A = -3/4
B = 1
Dann gilt zwar A != B, aber (selber nachrechnen) trotzdem
E[(X+A)^-1] = E[(X+B)^-1]. (*)
Anders ausgedrückt: Bei festem B ist hier die Lösung A der Gleichung (*)
nicht eindeutig (A=1 ist natürlich *eine* Lösung).


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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