Zwei Matrizen gesucht

26/05/2016 - 01:44 von Hans Crauel | Report spam
Es seien A die 2x2-Diagonalmatrix diag(2pi i, 4pi i) und
B die 2x2-Matrix mit Zeilen (0,1) und (0, 2pi i), beide
komplex. Die beiden kommutieren nicht, AB und BA stimmen
nicht ueberein.

Es ist jedoch exp(A) = exp(B) = exp(A+B) = Id (die
Einheitsmatrix), wobei exp die Matrix-Exponentialfunktion
ist, und damit

exp(A+B) = exp(A) exp(B) ( = exp(B) exp(A))

Das beruht natuerlich auf exp(k 2pi i) = 1 fuer k
ganzzahlig.

Kennt jemand reelle Matrizen A und B, am besten 2x2, die
nicht kommutieren, fuer die aber exp(A+B) = exp(A) exp(B)
ist (und wo am besten dann auch noch exp(B) exp(A) davon
verschieden ist)?

Hans Crauel
 

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#1 Martin Vaeth
27/05/2016 - 19:59 | Warnen spam
Hans Crauel schrieb:

Kennt jemand reelle Matrizen A und B, am besten 2x2, die
nicht kommutieren, fuer die aber exp(A+B) = exp(A) exp(B)
ist (und wo am besten dann auch noch exp(B) exp(A) davon
verschieden ist)?



Nichtkommutierende Matrizen zu finden, deren Exponential
kommutiert, ist leicht, denn wenn I die Matrix
0 1
-1 0
ist, ist e^{tI} für geeignetes t>0 die Einheitsmatrix,
die mit allem kommutiert.

Für die andere Frage: Kannst Du nicht einfach Dein
ursprüngliches Beispiel "aufblasen", indem Du statt
in C^2 im R^4 arbeitest und i durch I (und reelle
Zahlen durch die 2x2-Einheits-Teilmatrix) ersetzt?

Das beruht natuerlich auf exp(k 2pi i) = 1 fuer k
ganzzahlig.



Zumindest für normale Matrizen *muss* das immer so sein:
Wenn A normal ist, und sich keine zwei Eigenwerte
von A um ein Vielfaches von 2pi i unterscheiden,
so kommutiert A mit jeder Matrix, mit der exp(A)
kommutiert.

Allgemeiner: Wenn A normaler beschrànkter Operator
ist und die Borelfunktion f auf dem Spektrum von A
injektiv, so kommutiert A mit jedem Operator
der mit f(A) kommutiert, siehe z.B. ein Lemma in:
W. J. Ricker, M. Vàth, An Extension of a
Commutativity Theorem of M. Uchiyama,
Irish Math. Soc. Bull. 48 (2002), 35-41.

Vermutlich kann man bei Matrizen auf die Normalitàt
verzichten, indem man für ein analoges Argument
den Dunford-Kalkül benutzt.

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