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Zwei Punkte im 18-Eck mit Abstand gleich dem Umkreisradius

16/08/2016 - 15:42 von Rainer Rosenthal | Report spam
Der sehr interessante Thread von Manfred Ullrich (11.8.2016, 11:47) hat
leider keinen aussagekràftigen Betreff. Hier kommt eine Fortsetzung,
basierend auf Untersuchungen im regulàren 18-Eck.

Seien P_1 bis P_18 die Ecken des regulàren 18-Ecks mit Umkreisradius 1.
Sein Zentrum sei C, und den Radius von C zu P_i bezeichne ich mit r_i.
Die Sekante durch die Punkte P_i und P_j nenne ich s_i_j (i,j=1..18).

Satz (numerisch überprüft(*), aber leider unbewiesen):
Konstruiert man Punkte A und B wie folgt
A ist Schnittpunkt von s_1_7 und r_2
p ist Parallele zu s_2_7 durch A
B ist Schnittpunkt von p und r_7

dann gilt: die beiden Punkte A und B haben Abstand 1.
Manfreds Aussage über den Winkel 10° war bereits als àquivalent zur
Gleichheit 1 - 1/(2*cos(40°)) = 2*sin(10°) erkannt worden.
Ebenfalls àquivalent ist die Aussage, dass A und B Abstand 1 haben.
Die zugehörige geometrische Kontruktion im 18-Eck ist nicht viel
komplizierter als die der ursprünglichen Frage, die Formel allerdings
etwas komplizierter.

Ich hatte gehofft, mit den Untersuchungen im 18-Eck etwas geometrisch
unmittelbar Einleuchtendes zu finden, aber ich bin nur auf etwas erneut
Verwunderliches gestoßen.
Was doch die unscheinbar scheinende Ausgangsfrage von Manfred Ullrich
alles nach sich ziehen kann, cool!

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

(*) Hier die angekündigte Überprüfung, Nomenklatur wie oben:
#################################################################################
#
# Numerische Verifizierung durch Programm Maple V
# mit 'geometry' Bibliothek
#
#################################################################################
Bau18Eck(): # 18-Eck mit Ecken P_i, Radien r_i, Sekanten s_i_j
intersection(A,s_1_7,r_2): # A ist Schnittpunkt von s_1_7 und r_2
ParallelLine(p,A,s_2_7): # p ist Parallele zu s_2_7 durch A
intersection(B,p,r_7): # B ist Schnittpunkt von p und r_7
dAB := distance(A,B): # Abstand zwischen A und B ...
evalf(dAB); # ist ...

1.000000000

# gleich 1 (im Rahmen der Rechengenauigkeit).
#
# Der exakte Ausdruck für den Abstand zwischen A und B ist
#
simplify(dAB);

sqrt(3) sqrt(2 + cos(1/9 Pi) - sin(1/9 Pi) sqrt(3))

sqrt(3) cos(1/9 Pi) + 3 sin(1/9 Pi)

#
#################################################################################

Meine allgemeinen Rechen- und speziellen Maple-Kenntnisse reichen nicht
aus, um diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen.

Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

Lesen sie die antworten

#1 Rainer Rosenthal
16/08/2016 - 22:20 | Warnen spam
Meine Entdeckung im 18-Eck war zwar nicht hilfreich zum Lösen des
Ausgangsproblems von Manfred, scheint mir aber trotzdem interessant.
Weil sein Problem gelöst wurde, ist die Entdeckung wahr.

Ich möchte meinem ersten dsm-Beitrag noch eine Zeichnung folgen lassen.
(Feste Schriftbreite benötigt):
#
# Zuerst das regulàre 18-Eck mit den Ecken P_1 bis P_7 und Zentrum C:
#
#
# C
#
#
#
#
# P_1
#
#
# P_2 P_7
#
# P_3 P_6
#
# P_4 P_5
#


Dann die Konstruktion von A und B:
Punkt A zwischen P_1 und P_7 sowie zwischen C und P_2
Gerade p durch Punkt A, parallel zur Geraden durch P_2 und P_7
Punkt B auf der Geraden p sowie zwischen C und P_7
#
#
#
# C
#
#
#
#
# P_1
# A - - - - p - - - - B
#
# P_2 P_7
#
# P_3 P_6
#
# P_4 P_5
#
#

Entdeckung: Abstand zwischen A und B ist gleich dem zwischen C und P_1.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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