Zweidimensionale Normalverteilung

15/05/2010 - 18:04 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Ein Schütze schießt auf eine Scheibe. Ich nehme an, dann sind die x- und
y-Koordinaten der getroffenen Punkte jeweils normalverteilt. Wie berechnet
man jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass der Treffer in einem bestimmten Ring
liegt? Stimmt meine Überlegung, dass die entsprechende Dichtefunktion (also
für den Abstand vom Mittelpunkt) proportional zu r*exp(-1/2*(r/sigma)^2)
ist?

Grüße
Jutta
 

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#1 Roland Franzius
15/05/2010 - 18:15 | Warnen spam
Jutta Gut schrieb:
Hallo!

Ein Schütze schießt auf eine Scheibe. Ich nehme an, dann sind die x- und
y-Koordinaten der getroffenen Punkte jeweils normalverteilt. Wie
berechnet man jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass der Treffer in einem
bestimmten Ring liegt? Stimmt meine Überlegung, dass die entsprechende
Dichtefunktion (also für den Abstand vom Mittelpunkt) proportional zu
r*exp(-1/2*(r/sigma)^2) ist?



Wenn beide Koordinaten N(0,sigma)-verteilt sind, ja. Dann ist die Dichte
der gemeinsamen Veretilungsfunktion

dF=dx dy /(2 pi sigma^2) exp(- (x^2+y^2)/(2 sigma^2))
= dr r dphi /(2 pi sigma^2) exp(-r^2/(2 sigma^2))

Also ist nach Integration über phi die Dichte

dF^* = d(r^2/(2 sigma^2)) e^(-r^2/(2 sigma^2))

und

int_0^oo dF* = 1


Ach ja, das war ja übrigens der Trick, int_R dx e^(-x^2) zu berechnen.


Roland Franzius

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