Zweierpotenz als Summe von Quadraten

07/07/2015 - 18:07 von mathemator | Report spam
Kürzlich suchte jemand nach Tripeln (a,b,c) positiver ganzer Zahlen, bei
denen a^2+b^2+c^2 eine Zweierpotenz ist, fand aber keine. Hat er nur
schlecht gesucht?

Klaus-R.
 

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#1 Detlef Müller
07/07/2015 - 18:35 | Warnen spam
On 07.07.2015 18:07, Klaus Loeffler wrote:
Kürzlich suchte jemand nach Tripeln (a,b,c) positiver ganzer Zahlen, bei
denen a^2+b^2+c^2 eine Zweierpotenz ist, fand aber keine. Hat er nur
schlecht gesucht?



Ich denke, nein.

Wenn es ein solches Tripel gibt, können wir auch eines finden,
für das 2 kein Teiler von ggT(a,b,c) ist, ansonsten können
wir a^2+b^2+c^2 = 2^n durch 2^(2k) teilen, wobei k der maximal
ist mit 2^k | ggT(a,b,c).


Dann können nur zwei der Zahlen ungerade sein, die dritte
muß gerade sein (da die Summe gerade ist).

Modulo 4 sind die Quadrate ungerader Zahlen stets 1,
das Quadrat der dritten Zahl ist modulo 4 natürlich 0.

Dann ist a^2 + b^2 + c^2 = 2 modulo 4.

Die einzige 2-Potenz, für die das zutrifft ist 2^1.

Aber da a,b,c positiv sein sollen, ist
a^2 + b^2 + c^2 > 2.

Gruß,
Detlef


Klaus-R.





Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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