Zwischenwertsatz und Stetigkeit und so

02/07/2009 - 16:56 von Jakob Creutzig | Report spam
Ein Vorteil dieses, aehm, laenglichen Stetigkeitsthreads
ist immerhin, dass ich mal wieder ueber die Anschaulichkeit
des Stetigkeitsbegriffes fuer Funktionen f: [a,b] -> |R
nachgedacht hab. Was evtl. ein bisschen unschoen ist: Die
Motivation ist nicht-punktweise, die Definition schon.

Es waer ja nett, wenn man ohne epsilon-delta-Gehampel auskommen
koennte (wenigstens fuer paedagogische Zwecke), wenigstens auf
einem Intervall; jeder Ingenieur wuerde es einem danken.

Eigentlich sagt der Zwischenwertsatz einigermassen gut aus,
was man naiv so von einer stetigen Funktion auf einem
Intervall (!) will, man soll beim Malen von f(a) bis f(b)
nirgends den Stift hochnehmen. Das reicht natuerlich nicht,
weil man auch noch eine "Oszillationsbedingung" fuer den Graphen
braucht (f(x) = sin(1/x), f(0) beliebig erfuellt AFAICS
den ZWS, ist aber natuerlich nicht stetig).

So eine Bedingung koennte z.B. sein

(EO) "Fuer jedes eps > 0 gibt es nur endlich lange Ketten
x_1 < y_1 < x_2 < .. <x_n <y_n, sodass gilt
|f(y_i)-f(x_i)| > eps".

(Endliche Oszillation)

Ich glaub im Moment, dass gilt:

Fuer f : [a,b] -> |R ist f stetig <=> ZWS + BO.

(Also, ZWS heisst natuerlich: Fuer alle c<d \in [a,b] werden
alle Werte zwischen f(c) und f(d) angenommen. Ja, das ist wieder
ein bisschen lokal..)

(Fuer "=>" (OS) muss man nur beachten: Wenn es unendlich viele
Punktpaare gaebe, gaebe es auch unendlich viele beliebig
nah aneinanderliegende, und damit faende man leicht eine
Folge von x^m,y^m mit |x^m-y^m|<1/m und |f(x^m)-f(y^m)| > eps,
was fuer eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen(!)
Intervall eher schlecht waer.

Fuer "<=" nimmt man an, es gibt x und x_n -> x mit
f(x_n) !-> f(x), durch Teilfolgenwahl kann man genausogut
annehmen, dass f(x_n) -> y != f(x). Dann kann man aber
wg. ZWS immer wieder Punkte y_k zwischen den x_n finden
mit f(y_k) = [f(x) - f(x_{n_k})]/2, auf jeden Fall irgendwann
|f(y_k) - y| > |f(x) - y|/2. Weil andererseits |f(x_n)-y|
klein wird, folgt |f(y_k)-f(x_{n_k})| > |f(x) - y|/2
schliesslich immer, ein Widerspruch.)

Was ganz nett ist, man braucht scheints wirklich keine Stetigkeit
in einem Punkte. (Gut, man kann das auch dumm finden, weil
man *Un*stetigkeit ja meist eben doch an genau einem Punkte
sehen und erklaeren kann. Eigentlich sollte man sowieso eher
lehren, wann eine Funktion unstetig ist, und sagen "sonst ist
sie stetig"..) Oder erzaehl ich jetzt Unfug?

Was etwas bloed ist (abgesehen davon, dass die Studenten
verzweifeln werden, wenn sie ein einziges Mal in ein anderes
Buch schauen..), ist die etwas unhandliche EO-Bedingung.
Kann man das vielleicht eleganter (ohne topologische Eskapaden
natuerlich) ausdruecken? Was vielleicht noch unschoener ist,
auf offenen Intervallen stimmts halt nicht mehr, da muss man
dann herumkruecken mit der Einschraenkung auf abgeschlossene
Teilintervalle.

Geht sowas prinzipiell eleganter?

(Kann man den ZWS vielleicht durch "abgeschlossenen Graphen"
ersetzen? Gut, die Ausrede mit der Paedagogik kauft einem
dann niemand mehr ab..)

Best,
Jakob
 

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#1 mathemator
02/07/2009 - 19:01 | Warnen spam
Jakob Creutzig wrote:

Ein Vorteil dieses, aehm, laenglichen Stetigkeitsthreads
ist immerhin, dass ich mal wieder ueber die Anschaulichkeit
des Stetigkeitsbegriffes fuer Funktionen f: [a,b] -> |R
nachgedacht hab. Was evtl. ein bisschen unschoen ist: Die
Motivation ist nicht-punktweise, die Definition schon.

Es waer ja nett, wenn man ohne epsilon-delta-Gehampel auskommen
koennte (wenigstens fuer paedagogische Zwecke), wenigstens auf
einem Intervall; jeder Ingenieur wuerde es einem danken.

Eigentlich sagt der Zwischenwertsatz einigermassen gut aus,
was man naiv so von einer stetigen Funktion auf einem
Intervall (!) will, man soll beim Malen von f(a) bis f(b)
nirgends den Stift hochnehmen. Das reicht natuerlich nicht,
weil man auch noch eine "Oszillationsbedingung" fuer den Graphen
braucht (f(x) = sin(1/x), f(0) beliebig erfuellt AFAICS
den ZWS, ist aber natuerlich nicht stetig).

So eine Bedingung koennte z.B. sein

(EO) "Fuer jedes eps > 0 gibt es nur endlich lange Ketten
x_1 < y_1 < x_2 < .. <x_n <y_n, sodass gilt
|f(y_i)-f(x_i)| > eps".

(Endliche Oszillation)

Ich glaub im Moment, dass gilt:

Fuer f : [a,b] -> |R ist f stetig <=> ZWS + BO.

(Also, ZWS heisst natuerlich: Fuer alle c<d \in [a,b] werden
alle Werte zwischen f(c) und f(d) angenommen. Ja, das ist wieder
ein bisschen lokal..)

(Fuer "=>" (OS) muss man nur beachten: Wenn es unendlich viele
Punktpaare gaebe, gaebe es auch unendlich viele beliebig
nah aneinanderliegende, und damit faende man leicht eine
Folge von x^m,y^m mit |x^m-y^m|<1/m und |f(x^m)-f(y^m)| > eps,
was fuer eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen(!)
Intervall eher schlecht waer.

Fuer "<=" nimmt man an, es gibt x und x_n -> x mit
f(x_n) !-> f(x), durch Teilfolgenwahl kann man genausogut
annehmen, dass f(x_n) -> y != f(x). Dann kann man aber
wg. ZWS immer wieder Punkte y_k zwischen den x_n finden
mit f(y_k) = [f(x) - f(x_{n_k})]/2, auf jeden Fall irgendwann
|f(y_k) - y| > |f(x) - y|/2. Weil andererseits |f(x_n)-y|
klein wird, folgt |f(y_k)-f(x_{n_k})| > |f(x) - y|/2
schliesslich immer, ein Widerspruch.)

Was ganz nett ist, man braucht scheints wirklich keine Stetigkeit
in einem Punkte. (Gut, man kann das auch dumm finden, weil
man *Un*stetigkeit ja meist eben doch an genau einem Punkte
sehen und erklaeren kann. Eigentlich sollte man sowieso eher
lehren, wann eine Funktion unstetig ist, und sagen "sonst ist
sie stetig"..) Oder erzaehl ich jetzt Unfug?

Was etwas bloed ist (abgesehen davon, dass die Studenten
verzweifeln werden, wenn sie ein einziges Mal in ein anderes
Buch schauen..), ist die etwas unhandliche EO-Bedingung.
Kann man das vielleicht eleganter (ohne topologische Eskapaden
natuerlich) ausdruecken? Was vielleicht noch unschoener ist,
auf offenen Intervallen stimmts halt nicht mehr, da muss man
dann herumkruecken mit der Einschraenkung auf abgeschlossene
Teilintervalle.

Geht sowas prinzipiell eleganter?

(Kann man den ZWS vielleicht durch "abgeschlossenen Graphen"
ersetzen? Gut, die Ausrede mit der Paedagogik kauft einem
dann niemand mehr ab..)



Mit allen Risiken, die mit einer Antwort verbunden ist, wenn man schon
die Frage nicht genau verstanden hat und deshalb möglicherweise in eine
ganz andere Richtung làuft:
Du betrachtest die Stetigkeit auf einem abgeschlossenen Intervall, die
dort bekanntlich àquivalent zur _gleichmàßigen_ Stetigkeit ist, was
anschaulich gesprochen bedeutet: Zu jeder beliebigen Rechteckhöhe kann
man eine passende Rechteckbreite angeben, so dass ein Rechteck mit
diesen Maßen achsenparallel von links nach rechts über den Graphen
gezogen werden kann, ohne dass je ein Punkt des Graphen ober- oder
unterhalb des Rechtecks liegt.
Das ist doch nun wirklich keine lokale Beschreibung.

Klaus-R.

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