Zylindrisches Gefäß mit Wasser; Wasser läuft durch Verengung nach unten ab

11/07/2009 - 21:52 von Stephan Gerlach | Report spam
Folgendes alltàgliche Problem, das mir gerade durch den Kopf geistert:

Gegeben sei ein (der Einfachheit halber zylindrischer) Eimer mit
Grundflàche A_1. Der Eimer sei bis zur Höhe h mit Wasser gefüllt. Der
Einfachheit halber: Das Wasser soll ideale Flüssigkeit sein; keine
innere Reibung oder Reibung mit Gefàßwànden und inkompressibel.
Im Eimer sei nun unten ein Loch mit der Flàche A_1, wobei man sich
vielleicht besser ein senkrecht nach unten führendes Rohr mit
Querschnittsflàche A_1 dort angeschlossen denken sollte.

Mit welchem Ansatz errechnet man den Pegelstand h(t) des Wassers in
Abhàngigkeit von der Zeit, bzw. wie ist die Sinkgeschwindigkeit v(t) des
Wassers im Eimer?
Anfangsbedingungen: h(0) = h, v(0) = 0.
Die Sinkgeschwindigkeit v_R(t) im Rohr hàngt ja dann trivial mit v(t)
zusammen.

Vermutlich ist das trivial, und ich sehe nur den trivialen Ansatz
(irgendein Kràftegleichgewicht zweier "gegenlàufigen" Kràfte, wobei eine
der beiden Kràfte die Gewichtskraft des zum Zeitpunkt t noch im Eimer
befindlichen Wasser ist?) nicht.

Was mich etwas bei der Ansatz-Findung irritiert: Wenn A_2 = A_1 ist,
sollte ein ganz normaler freier Fall rauskommen, d.h. v(t) wàre monoton
*wachsend*. Wenn hingegen A_2 "sehr klein" gegenüber A_1 ist, würde ich
intuitiv sagen, daß v(t) (zumindest bis zu einem bestimmten Zeitpunkt)
monoton *fallend* sein müßte, da bei t = 0 am Loch ein höherer Druck
p(0) herrscht als spàter.


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

Lesen sie die antworten

#1 Roland Damm
11/07/2009 - 23:19 | Warnen spam
Moin,

Stephan Gerlach schrub:

Gegeben sei ein (der Einfachheit halber zylindrischer) Eimer
mit Grundflàche A_1. Der Eimer sei bis zur Höhe h mit Wasser
gefüllt. Der Einfachheit halber: Das Wasser soll ideale
Flüssigkeit sein; keine innere Reibung oder Reibung mit
Gefàßwànden und inkompressibel. Im Eimer sei nun unten ein Loch
mit der Flàche A_1, wobei man sich vielleicht besser ein
senkrecht nach unten führendes Rohr mit Querschnittsflàche A_1
dort angeschlossen denken sollte.



Das Rohr soll wohl eher A_2 haben. Und ich nehme an, es ist nach
unten hin beliebig lang. Das ist nicht unwichtig, denke ich. Ein
frei fallender Wasserstrahl ist was anderes als Wasser, welches
in einem Rohr runter fließt. Wegen dem Druck und so.

Mit welchem Ansatz errechnet man den Pegelstand h(t) des
Wassers in Abhàngigkeit von der Zeit, bzw. wie ist die
Sinkgeschwindigkeit v(t) des Wassers im Eimer?
Anfangsbedingungen: h(0) = h, v(0) = 0.
Die Sinkgeschwindigkeit v_R(t) im Rohr hàngt ja dann trivial
mit v(t) zusammen.



Ich würde mal über die Energie rechnen.
Wasser im Eimer, Flàche A1, Höhe h:
E_pot = h/2 * rho*h*A1
E_kin = rho*A1*h* v1

(v1=Sinkgeschwindigkeit)

Im Rohr:
E_pot = -t/2 * rho*t*A2
E_kin = rho*A2*t*v2

Dabei ist t die Tiefe, bis zu der das Wasser schon im Rohr nach
unten gekommen ist, hier positiv angesetzt, deswegen negative
Vorzeichen in der Formel.

Natürlich gilt noch die Konti-Gleichung:
h*A1 + t*A2 = const
und
v1*A1 = v2*A2

Der Nullpunkt für die kinetische Energie ist mal willkürlich auf
den Eimerboden festgelegt.

Nun muss gelten: Summe aller Energien = const.

Damit müsste man schon mal v1 und/oder v2 in Abhàngigkeit von h
oder t ausrechnen können (Achtung, habe die Tiefe
unsinnigerweise t genannt, die Zeit ist bis jetzt noch nicht
vorgekommen).

Wie man jetzt die Zeit reinbringt, müsste man sich mal Ansehen,
wenn man die Lösung bis hier her hat. Auf jeden Fall kommt dann
ein Differential in der Art von
v1 = dh/dt
zum Tragen. Das könnte es schon gewesen sein.

CU Rollo

Ähnliche fragen